Đề cương ôn tập Toán 11 (Chân trời sáng tạo) - Chương 6, Bài 1: Phép tính lũy thừa

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập Toán 11 (Chân trời sáng tạo) - Chương 6, Bài 1: Phép tính lũy thừa

1. Chương 06 Bài 1. PHÉP TÍNH LŨY THỪA Lý thuyết 1. Lũy thừa với số mũ nguyên. Định nghĩa: Cho là một số nguyên dương. Ta định nghĩa:  Với là số thực tùy ý: ( thừa số ).  Với là số thực khác : .  Trong biểu thức , gọi là cơ số, gọi là số mũ.  Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên dương. Với ab 00; và mn; là các số nguyên, ta có: m mm m m m n m n a m mm aa ab ⓵ a. a a ⓶ amn ⓷ ab a. b ⓸ ⓹ an b bm ba Chú ý ⑴ và không có nghĩa. ⑵ Nếu thì khi và chỉ khi . ⑶ Nếu thì khi và chỉ khi . 2. Căn bậc n. Định nghĩa: Cho số thực và số nguyên dương .  Số được gọi là căn bậc của số nếu  Ta có các tính chất sau (với điều kiện các căn thức đều có nghĩa): ⓵ ⓶ ⓷ ⓸ ⓹ 1
2. Chú ý n lẻ  Có duy nhất một căn bậc n của b, ký hiệu .  Không tồn tại căn bậc n của b  Có một căn bậc n của b là 0 n chẵn  Có hai bậc n của a là hai số đối nhau,  Căn có giá trị dương ký hiệu là , căn có giá trị âm ký hiệu là .  Nếu n chẵn thì có nghĩa chỉ khi .  Nếu n lẻ thì luôn có nghĩa với mọi số thực . 3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ Định nghĩa: Cho số thực và số hữu tỉ , trong đó . Lũy thừa của với số mũ , kí hiệu là , được xác định bởi . 4. Lũy thừa với số mũ thực Định nghĩa: Giới hạn của dãy số gọi là lũy thừa của số thực dương với số mũ .  Kí hiệu: với . 2
3. Các dạng bài tập  Dạng 1. Tính giá trị biểu thức Phương pháp  Sử dụng phối hợp linh hoạt các tính chất của lũy thừa.  Chọn là các số thực dương và là các số thực tùy ý, ta có: ⓵ ⓶ ⓷ ⓸ ⓹ ⓺ Ví dụ 1.1. Đưa các biểu thức sau về dạng lũy thừa ⑴ ⑵ ⑶ Ví dụ 1.2. Tính giá trị của biểu thức ⑴ ⑵ ⑶ Ví dụ 1.3. Tính giá trị của biểu thức ⑴ ⑵ . 3
4. Ví dụ 1.3. Thực hiện các yêu cầu sau: ⑴ Cho . Tính giá trị biểu thức . ⑵ Cho . Khi đó biểu thức với là phân số tối giản và . Tính .  Dạng 2. Rút gọn biểu thức Phương pháp  Sử dụng phối hợp linh hoạt các tính chất của lũy thừa.  Chọn là các số thực dương và là các số thực tùy ý, ta có: ⓵ ⓶ ⓷ ⓸ ⓹ ⓺ Ví dụ 2.1. Rút gọn các biểu thức: ⑴ với ⑵ với ⑶ , với ⑷ với Ví dụ 2.2. Thực hiện các yêu cầu sau: ⑴ Cho là một số thực dương. Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. ⑵ Viết biểu thức ( ) dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ. 4
5.  Dạng 3. So sánh Phương pháp ⑴ Nếu thì khi và chỉ khi . ⑵ Nếu thì khi và chỉ khi . Ví dụ 3.1. Thực hiện các yêu cầu sau: ⑴ Cho ; . So sánh , . ⑵ Sắp theo , và theo thứ tự từ lớn đến bé. Ví dụ 3.1. Với những giá trị nào của thì ⑴ ⑵  Dạng 4. Bài toán lãi kép Phương pháp  Số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do tiền gốc đó sinh ra thay đổi theo từng định kỳ.  Công thức:  Trong đó: : Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn; : Số tiền gửi ban đầu; : Số kỳ hạn tính lãi; : Lãi suất định kỳ, tính theo %. Ví dụ 4.1. Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,4% / tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ta khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được lập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền bao nhiêu, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền ra và lãi xuất không thay đổi? 5
6. Ví dụ 4.2. Một học sinh A khi đủ 18 tuổi được cha mẹ cho VNĐ. Số tiền này được bảo quản trong ngân hàng MSB với kì hạn thanh toán 1 năm và học sinh A chỉ nhận được số tiền này khi học xong 4 năm đại học. Biết rằng khi đủ 22 tuổi, số tiền mà học sinh A được nhận sẽ là VNĐ. Vậy lãi suất kì hạn một năm của ngân hàng MSB là bao nhiêu? Ví dụ 4.3. Ông Đại mới xin được việc làm nên gửi tiết kiệm vào ngân hàng với hình thức cứ mỗi đầu tháng đóng vào 5 triệu đồng với lãi suất 0,33%/ tháng. Tính số tiền mà ông Đại thu được từ ngân hàng sau 5 năm. Ví dụ 4.4. Ông Bình vay vốn ngân hàng với số tiền đồng. Ông dự định sau đúng năm thì trả hết nợ theo hình thức: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau. Hỏi theo cách đó, số tiền mà ông sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết lãi suất hàng tháng là và không thay đổi trong thời gian ông hoàn nợ. Ví dụ 4.5. Lãi suất cho vay tại PVcomBank trong tháng 5/2022 rất ưu đãi, ở mức 5%/năm, được áp dụng trong 6 tháng đầu, từ tháng thứ 7 trở đi ấn định mức lãi 12%/năm. Tại ngân hàng này, thời hạn cho vay mua nhà tối đa là 20 năm, mức vay tối đa 85% giá trị tài sản đảm bảo. Một người có khả năng trả cố định hằng tháng là 15 triệu. Giả sử người đó có thể mượn người thân giá trị căn nhà, nếu được sử dụng gói vay ở trên với thời hạn tối đa và mức vay tối đa thì có thể mua được căn nhà có giá trị tối đa khoảng? Luyện tập A. Câu hỏi – Trả lời trắc nghiệm » Câu 1. Cho ab, 0 ; , . Phát biểu nào sau đây là đúng? a A. a a a . B. a b ab . C. aa . D. a . a » Câu 2. Với a là số thực dương tuỳ ý, a3 bằng 1 2 3 A. a 6 . B. a 3 . C. a6 . D. a 2 . » Câu 3. Với là số thực bất kì, mệnh đề nào sau đây sai? 6
7. 2 2 2 A. 10 10 . B. 10 10 2 . C. 10 100 . D. 10 10 . » Câu 4. Với a là số thực dương tuỳ ý, a3 bằng 1 2 3 A. a 6 . B. a 3 . C. a6 . D. a 2 . 1 » Câu 5. Rút gọn biểu thức P x3 .6 x với x 0. 1 2 A. Px B. Px 8 C. Px 9 D. Px 2 aa5 1. 2 5 » Câu 6. Rút gọn biểu thức P với a là số thực dương khác 1. 22 a 22 A. a5 . B. a . C. a3 . D. a4 . 3 » Câu 7. Cho biểu thức P x.4 x3 x , với x 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 15 1 7 7 A. Px 24 . B. Px 2 . C. Px 24 . D. Px 12 . » Câu 8. Cho ab 00, . Mệnh đề nào sau đây SAI? A. 4 a4 b 8 ab 2 B. 4 a4 b 8 a b 2 C. 4 a4 b 8 ab 2 D. 4 a4 b 8 ab 2 » Câu 9. Giá trị 352021. 2021 viết dưới dạng lũy thữa với số mũ hữu tỷ là 2 1 8 1 A. 20215 . B. 202115 . C. 202115 . D. 202110 3 4 1 1 » Câu 10. Cho a và b . Tính A a4 b 3 256 27 A. 23. B. 89 . C. 145. D. 26 . 5 2xx 2 » Câu 11. Cho 4xx 4 7. Biểu thức P có giá trị bằng 8 4.. 2xx 4 2 3 5 A. P . B. P . C. P 2 . D. P 2. 2 2 5 3xx 3 a a » Câu 12. Cho 9xx 9 23. Khi đó biểu thức A với là phân số tối giản và ab, 1 3xx 3 b b . Tích ab. bằng A. 10 . B. 10. C. 8. D. 8 . » Câu 13. Biết 4xx 4 14, tính giá trị của biểu thức P 22xx . A. 4 . B. 16. C. 17 . D. 4 . 1 1 35 » Câu 14. Nếu aa3 6 và bb thì A. ab 1; 0 1. B. ab 11; . C. 0 ab 1; 1 D. ab 1; 0 1. » Câu 15. Cho a 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3 2 11 3 3 1 a A. 2016 2017 . B. aa . C. a . D. 1. aa a 5 a » Câu 16. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào SAI? 2018 2017 3 A. 3 1 3 1 . B. 2221 . 7
8. 2019 2018 2017 2018 22 C. 2 1 2 1 . D. 11 . 22 » Câu 17. Khẳng định nào dưới đây là đúng? 33 2 50 100 35 11 2 1 1 A. . B. . C. 3 . D. 2 . 78 23 5 4 » Câu 18. Anh An gửi số tiền 58 triệu đồng vào một ngân hàng theo hình thức lãi kép và ổn định trong 9 tháng thì lĩnh về được 61758000đ. Hỏi lãi suất ngân hàng hàng tháng là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất không thay đổi trong thời gian gửi. A. 08,% B. 06,% C. 07,% D. 05,% » Câu 19. Ông An gửi tiết kiệm 50 triệu đồng vào ngân hàng với kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 84,% một năm theo hình thức lãi kép. Ông gửi được đúng 3 kỳ hạn thì ngân hàng thay đổi lãi suất, ông gửi tiếp 12 tháng nữa với kỳ hạn như cũ và lãi suất trong thời gian này là 12% một năm thì ông rút tiền về. Số tiền ông An nhận được cả gốc lẫn lãi là: A. 62255910 đồng. B. 59895767 đồng. C. 59993756 đồng. C. 63545193 đồng. » Câu 20. Một học sinh A khi 15 tuổi được hưởng tài sản thừa kế 200 000 000 VNĐ. Số tiền này được bảo quản trong ngân hàng B với kì hạn thanh toán 1 năm và học sinh A chỉ nhận được số tiền này khi 18 tuổi. Biết rằng khi 18 tuổi, số tiền mà học sinh A được nhận sẽ là 231 525 000 VNĐ. Vậy lãi suất kì hạn một năm của ngân hàng B là bao nhiêu? A. 8%/năm. B. 7%/năm. C. 6%/ năm. D. 5%/năm. B. Câu hỏi – Trả lời Đúng/sai » Câu 21. Cho ab, là các số thực dương. Mệnh đề Đúng Sai mn (a) amn. b ab am (b) amn an n m m. n (c) aa m n m n (d) a a a 22 33 » Câu 22. Cho biểu thức 955 27 A và 14444: 9 B, khi đó: Mệnh đề Đúng Sai 22 2 (a) 955 27 9  27 5 22 (b) 955 27 3k thì k 3 33 (c) 14444: 9 2k thì k 3 (d) Phép toán AB thu được kết quả là một số tự nhiên » Câu 23. Cho biểu thức Q x 44 x 1 x x 1 x x 1 với x 0 . Vậy: Mệnh đề Đúng Sai (a) Khi x 2 thì Q 7 (b) Phương trình Qx 0 1 2 (c) Phương trình Q 3 có 2 nghiệm dương phân biệt 8
9. (d) Khi x 3 thì Q là một số nguyên tố a 4 ab a b » Câu 24. Cho các biểu thức A ; B 4 b ; với a 00,, b a b . Vậy: 4a 4 b 4 a 4 b Mệnh đề Đúng Sai (a) Sau khi rút gọn, thì A chỉ chứa biến b (b) Biểu thức luôn A 0 (c) A B a A 11 (d) 1 BB 2xx » Câu 25. Cho biểu thức A 2 1 3 2 2 . Vậy: Mệnh đề Đúng Sai x 82 (a) Cho 2 1 3. Thì A 9 x (b) Cho 2 1 1. Thì A 2 x 17 (c) Cho 2 1 2 . Thì A 9 x 1 m6 (d) Cho 21 m2 . Thì A m4 » Câu 26. Với x là số thực Mệnh đề Đúng Sai 2 1 1 115, 2 2 (a) Các số ; x ; 2 được viết theo thứ tự tăng dần. x 3 aa (b) Nếu xx22 1, 5 2 thì a 0 . 2 3 3 2 (c) x 1 x 1 x 2. mm22 33 22 (d) x 2 x 4 x 2 x 3 0 m 3 . t 1 3 » Câu 27. Tại một xí nghiệp, công thức Pt 500. được dùng để tính giá trị còn lại (tính theo 2 triệu đồng) của một chiếc máy sau thời gian t (tính theo năm) kể từ khi đưa vào sử dụng. Mệnh đề Đúng Sai (a) Giá trị còn lại của máy sau 3 năm sử dụng là 250 triệu đồng. Giá trị còn lại của máy sau 4 năm 3 tháng sử dụng gần bằng 180 triệu (b) đồng. Sau 2 năm đưa vào sử dụng thì giá trị của chiếc máy giảm 185 triệu (c) đồng so với giá trị ban đầu. Sau 1 năm đưa vào sử dụng thì giá trị của chiếc máy giảm 20,% 6 so (d) với giá trị ban đầu của nó. C. Câu hỏi – Trả lời ngắn 9
10. 2024 2025 » Câu 28. Biết biểu thức P 5 2 6  5 2 6 a 2 c với a;c là số tự nhiên. Tính giá trị ac 2  Điền đáp số: a 4 ab a b » Câu 29. Rút gọn biểu thức P (,) a 00 b ta thu được kết quả có dạng mbn 4a 4 b 4 a 4 b với m;n là số tự nhiên. Tính giá trị mn 2  Điền đáp số: aa3 1 2 3 » Câu 30. Rút gọn biểu thức sau: Qa ()0 ta thu được kết quả có dạng am với m là số 22 a 22 tự nhiên. Tính giá trị m  Điền đáp số: » Câu 31. Biết 4xx 4 23, tính giá trị biểu thức P 22xx .  Điền đáp số: 2 2 » Câu 32. 5 3 5 ab Cho x , y là các số thực dương . Giả sử x.. y x y với ab; là số hữu tỷ. Tính ab  Điền đáp số: 2024 2025 2 2 3 2 2 3 » Câu 33. Tính giá trị của biểu thức T 1 . 2 2 3  Điền đáp số: » Câu 34. Biết rằng 35x , giá trị của biểu thức P 81x44 3 x. 27 x bằng bao nhiêu?  Điền đáp số: 335 2. 1 5 » Câu 35. Rút gọn biểu thức E ta được kết quả là 22 3 22  Điền đáp số: » Câu 36. Biết 2 2 5. Giá trị của biểu thức P 44 bằng bao nhiêu?  Điền đáp số: xy » Câu 37. Biết 4x 25y 10 . Giá trị của biểu thức T bằng bao nhiêu? xy  Điền đáp số: » Câu 38. Giả sử số tiền gốc là A , lãi suất là r%/ kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay năm) thì tồng n số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là Ar 1 . Bà Hạnh gửi 100 triệu vào 10
11. tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất là 8%/ năm. Số tiền lãi bà Hạnh thu được sau 10 năm có dạng 1ab 5, 8 2triệu đồng, với a;b là các số tự nhiên. Tính giá trị T ab 1  Điền đáp số: » Câu 39. Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức s t  s 02 t , trong đó s 0 là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, st là số lượng vi khuẩn A có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 con. Hỏi sau bao nhiêu phút, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con?  Điền đáp số: 11 1 m 22 » Câu 40. Cho f() x e xx() 1 . Biết rằng f 1  f 2  f 3  f 2025 e n với mn, là các số tự nhiên m và là phân số tối giản. Tính mn 2 . n  Điền đáp số: 1 2 » Câu 41. Biết 9 . Tính B 3 3 81 81 . 2  Điền đáp số: » Câu 42. Công ty FTK về mua bán xe ô tô đã qua sử dụng, sau khi khảo sát thị trường 6 tháng đã đưa ra công thức chung về giá trị còn lại của ô tô 4 chỗ kể từ khi đưa vào sử dụng (các loại t 3 4 xe 4 chỗ không sử dụng mục đích kinh doanh) được tính P t  A . Trong đó A là giá 4 tiền ban đầu mua xe, t là số năm kể từ khi đưa vào sử dụng. Giá trị còn lại của xe ô tô sau 30 tháng đưa vào sử dụng có dạng 768.. 601 abc , với a;; b c là các số nguyên, tính giá trị S a b c ?. Biết giá trị mua xe ban đầu là 920 triệu.  Điền đáp số: t » Câu 43. Số lượng vi khuẩn V trong phòng thí nghiệm tính theo công thức s t s0.2 trong đó s0 là số lượng vi khuẩn V lúc đầu, st là số lượng vi khuẩn có trong t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Sau 9 phút thì số lượng vi khuẩn V có dạng a10b (con), với ab; là các số tự nhiên, tính giá trị S a b?  Điền đáp số: 11