Đề tài Cực trị hình học không gian

Nội dung tài liệu: Đề tài Cực trị hình học không gian

1. Mục lục Trang Lí do lựa chọn đề tài 2 I. CƠ SỞ LÍ THUYẾT 3 I.1 CÁC TÍNH CHẤT, ĐỊNH LÍ VỀ SO SÁNH CÁC ĐẠI 3 LƯỢNG HÌNH HỌC I.2 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ 3 II. VÍ DỤ MINH HỌA 3 III. BÀI TẬP VẬN DỤNG III.1. PHẦN ĐỀ BÀI 15 III.2. PHẦN LỜI GIẢI 21 Trang 1
2. I. Lí do lựa chọn đề tài Trong chương trình toán phổ thông ta thường hay gặp câu hỏi trong bài toán hình học như: “ Tìm diện tích lớn nhất của tam giác, tứ giác; Xác định vị trí điểm S để thể tích khối chóp là lớn nhất ( nhỏ nhất)...”. Các đại lượng hình học thường được học trong chương trình phổ thông là: độ dài, số đo góc, diện tích, thể tích. Liên quan đến đại lượng hình học mà các bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các đại lượng thì ta thường gọi là bài toán cực trị hình học. Liên quan đến bài toán cực trị hình học, dẫn đến các cách chứng minh đặc sắc. Chúng có tác dụng phát triển tư duy logic, phát huy tính linh động và sáng tạo khi nghiên cứu toán học. Chính vì vậy bài toán cực trị hình học nói chung thường là các bài toán khó, thuộc dạng bài dùng để phân loại giữa các học sinh khá và giỏi trong các kỳ thi quan trọng như thi cuối kỳ, thi tốt nghiệp THPT. Đặc biệt trong kì thi tốt nghiệp THPT ta hay gặp các câu hỏi phân loại thuộc dạng này. Trong khuôn khổ nội dung của chuyên đề này, tác giả sưu tầm một số bài tập cực trị hình học trong không gian đã xuất hiện trong các đề thi thử, thi khảo sát của các trường THPT trên toàn quốc làm tư liệu cho chuyên đề. Nguồn tài liệu cho nội dung này cũng rải rác và không có nhiều, chính vì vậy, để phục vụ cho việc ôn luyện cho học sinh và các thầy cô có thêm tài liệu giảng dạy nên tôi đã biên soạn chuyên đề này. Chuyên đề này dùng cho học sinh sau khi học xong nội dung hình học không gian ( lớp 11 và 12), đặc biệt nó sẽ là tài liệu tham khảo cho các em học sinh và các thầy cô luyện thi học sinh giỏi, ôn thi tốt nghiệp THPT. Nội dung chuyên đề chia làm ba phần: I. Cơ sở lý thuyết II. Một số ví dụ minh họa III. Các bài tập vận dụng Người viết chuyên đề Thân Thị Nguyệt Ánh Trang 2
3. I. Cơ sở lý thuyết I.1. Các tính chất, định lý về so sánh các đại lượng hình học: +) Bất đẳng thức tam giác. +) So sánh đường xiên - hình chiếu và ngược lại. +) Quan hệ giữa dây và đường kính của đường tròn. +) Quan hệ giữa diện tích và chu vi của một hình. +) Sử dụng mối quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc. +) Sử dụng tỉ số diện tích, thể tích I.2. Sử dụng phương pháp đại số: +) Bất đẳng thức cauchy; bất đẳng thức Bunhia- cop-xki. +) Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số II. Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho tứ diện S.D ABC và M là một điểm di động, nằm bên trong tam giác ABC . Qua kẻ các đường thẳng song song với SA,, SB SC cắt các mặt phẳng tương ứng (SBC), (SAC), (SAB) lần lượt tại ABC', ', '. Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức MA'''''' MB MC MA MB MC T = + + + .. là SA SB SC SA SB SC 9 28 62 13 A. . B. . C. . D. 8 27 27 8 Lời giải Do MA'/ / SA nên bốn điểm này cùng nằm trong một mặt phẳng. Giả sử MA' EM S E= BC( MA', SA) . Khi đó AEM,, thẳng hàng và ta có ==MBC . SA EA S ABC Trang 3
4. MB''S MC S Tương tự ta có: ==MAC , MAB . SB SABC SC S ABC MA''' MB MC SSSS Khi đó P = + + =MBC + MAC +MAB = ABC = 1. SA SB SC SABC S ABC S ABC S ABC MA''' MB MC Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số ,, ta được: SA SB SC MA'''''' MB MC MA MB MC + + 33 . . SA SB SC SA SB SC MA''' MB MC P 33 . . . SA SB SC 3 MA' MB ' MC ' 1 1 .. = SA SB SC 3 27 MA' MB ' MC ' MA ' MB ' MC ' 1 28 Suy ra TT= + + +. . 1 + . SA SB SC SA SB SC 27 27 28 MA''' MB MC Vậy giá trị lớn nhất của T = . Dấu “=” xảy ra khi ==. 27 SA SB SC Ví dụ 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ O. xyz , cho điểm A( a;; b c) với abc;; là các số 2 2 2 a 1 thực dương thỏa mãn 5(a+ b + c) = 9( ab + 2 bc + ca) và Q =− 3 bc22+ (abc++) có giá trị lớn nhất. Gọi MNP,, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các tia Ox;; Oy Oz . Phương trình mặt phẳng (MNP) là A. x+4 y + 4 z − 12 = 0. B. 3x+ 12 y + 12 z − 1 = 0. C. x+440 y + z = . D. 3x+ 12 y + 12 z + 1 = 0. Lời giải t 2 t 2 Đặt t=+ b c (t 0) bc22 + ; bc . 2 4 5(a2+ b 2 + c 2 ) = 9( ab + 2 bc + ca) 5a2 + 5( b + c)2 − 9 a( b + c) = 28 bc 5a2 + 5 t 2 − 9 at 7 t 2 (5a + t)( a − 2 t) 0 at2 . 41 Vậy Q − = f( t) với t 0. tt27 3 41 1 Ta có ft ( ) = − + = 0 =t (vì t 0). tt249 6 Ta có bảng biến thiên Trang 4
5. 1 1 Vậy Q =16 =a ; bc== . max 3 12 1 1 1 1 1 Suy ra tọa độ điểm A ;; ; tọa độ các điểm M ;0;0 ; N 0; ;0 ; 3 12 12 3 12 1 P 0;0; . 12 x y z Phương trình mặt phẳng (MNP) + + =1 3x + 12 y + 12 z − 1 = 0 . 1 1 1 3 12 12 Ví dụ 3. Trong mặt phẳng ( ) cho đường tròn (T ) đường kính AB= 2 R . Gọi C là một diểm di động trên (T ). Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ( ) lấy điểm S sao cho SA= R . Hạ AH⊥ SB tại H , AK⊥ SC tại K . Tìm giá trị lớn nhất Vmax của thể tích tứ diện SAHK . R3 5 R3 5 A. V = . B. V = . max 75 max 25 R3 3 R3 3 C. V = . D. V = . max 27 max 9 .Lời giải S H F E K I B A C Trang 5
6. BC⊥ AC Ta có BC⊥ SA BC ⊥ ( SAC) ⊥BC AK . AC, SA ( SAB) AK⊥ SB Lại có AK⊥ BC AK ⊥( SBC) AK ⊥ SB (1) . SB, BC SBC ( ) Ta có SB⊥ AH (2) . Từ (1) ,(2) suy ra SB⊥ ( AHK ) tại H nên suy ra SH đường cao của khối chóp S. AHK . 1 Ta có: V== V SH. S . SAHK S. AHK3 AHK Do SAB,, cố định nên SH không đổi. Do đó thể tích của khối chóp S. AHK đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi S AHK đạt giá trị lớn nhất. Ta có BC⊥ ( SAC) BC⊥ AK mà AK⊥ SC AK⊥( SBC), KH ( SBC) AK ⊥ HK . Gọi E là trung điểm của AH , F là hình chiếu vuông góc của K xuống AH . 1 Ta có: S= .. AH KF . AHK 2 Mặt khác do độ dài đoạn AH không đổi nên S AHK đạt gái trị lớn nhất khi và chỉ khi KF là lớn nhất. Ta có độ dài đoạn KF có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi F trùng với trung điểm E của AH . AH Hay KF== KE ( do tam giác AHK vuông tại K ). max 2 SA22 R R 5 Xét SAB vuông tại A có: SA2 = SH. SB SH = = = SB R 5 5 SA. AB R .2 R 2 5 R và AH.. SB= SA AB AH = = = . SB R 5 5 1 AH AH22 R Diện tích lớn nhất của AHK là S=. AH = = . max 2 2 4 5 1 1RRR 523 5 Vậy V=.... SH S = = . max3 max 3 5 5 75 Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ đều ABCD.'''' A B C D có cạnh đáy bằng a. Điểm M và N lần lượt thay đổi trên các cạnh BB ' và DD ' sao cho (MAC) ⊥ ( NAC) và BM= x, DN= y . Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ACMN . Trang 6
7. a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 32 2 22 23 Lời giải Cách 1: Gọi I là trung điểm AC, đặt BB',= b ta có: 1 1 1 V= V + V = IC... S + IA S = AC S ACMN AMNI CMNI3 IMN 3 IMN 3 IMN 1 =a2.( S − S − S − S ) 3 BDD'' B MND'' B BIM IDN 1 (22b−− x y) a x . a 2 y . a 2 =a2. ab 2 − − − 3 2 4 4 1 x . a 2 y . a 2 1 2 =a2. + = a( x + y) . 3 4 4 6 Vì nên 2 2 2 a a2 a MI⊥ IN IM2 += IN 2 MN 2 +++=+− = x 2 y 22. a 2 ( x y) xy 2 2 2 Do đó 11a3 V= a22( x + y) a xy = . ACMN 6332 Vậy thể tích khối tứ diện đạt giá trị nhỏ nhất là khi xy= . Cách 2: Gọi I là trung điểm AC. Dễ thấy Δ,ΔMAC NAC lần lượt cân tại M ,N nên MI⊥ AC, NI ⊥ AC AC ⊥ ( MIN ) . Lại có AC=( MAC) ( NAC);( MAC) ⊥( NAC) MI ⊥( NAC) MI ⊥ NI (MAC) ⊥ ( NAC) ACMN Trang 7
8. 3 2 2 2 a a a2 a Khi đó MI2+= IN 2 MN 2 +++=+− = x 2 y 22. a 2 ( x y) xy 32 2 2 2 1 1 1 1 V= V + V =........ AI S + CI S = AC S = IM IN AC ACMN AMNI CMIN3 IMN 3 IMN 3 IMN 6 2 2 2 4 122a 2 a a2 a 2 2 a VACMN =. a 2. x + . y + = . ( xy) +( x + y ) + 6 2 2 6 2 4 2 2 4 2 a a2 a2 a a Mà xy = nên V=. ( x + y) − 2 xy + = .( x + y) 2 ACMN 6 2 2 6 Do đó Vậy thể tích khối tứ diện đạt giá trị nhỏ nhất là khi . Ví dụ 5. Cho tứ diện đều SABC có D là điểm thuộc cạnh AB sao cho BD= 2 AD , I là trung điểm của SD . Một đường thẳng d thay đổi qua I cắt các cạnh SA , SB lần lượt tại M , N . Biết AB= 2 a . Khi d thay đổi, thể tích khối chóp S. MNC nhỏ nhất bằng 3 ma3 . , với mn, , (mn,1) = . Tính mn+ . n m A. mn+=4. B. mn+=6. C. mn+=7. D. mn+=5 . Lời giải 11a3 V= a22( x + y) a xy = . ACMN 6332 xy= Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Vì là tứ diện đều và nên suy ra SH⊥ ( ABC) , H là trọng tâm tam giác đều và 2 2aa 3 2 3 AH ==. . 3 2 3 ACMN Trang 8
9. 2 2 2aa 3 2 6 Từ đó suy ra 22 . SH= SA − AH =(2 a) − = 33 2 1 1 2aa 6(23a) 23 2 Vậy V= SH... S = = (1) . SABC3 ABC 3 3 4 3 SM SN Đặt ==kl, , 0 kl , 1. SA SB S SM SN Ta có: SMN = . . S SAB SA SB SSS2 12SM SI SN SI Mặt khác SMN= SMI + SNI =.... + S SAB3 S SAD 3 S SBD 3 SA SD 3 SB SD 1 1 2 1 k Nên ta có k. l= . k . + . l . 6 kl = k + 2 l l = (2) . 3 2 3 2 2( 3k − 1) 01 k 01 k 2 Vì nên k kk 1 3 − 1 0. 01 l 01 5 2 3k − 1 ( ) S. MNC 3 V 3 SM SN SC Ta ma có: SMNC =..... =k l V = k l V 3 . . mn, (mn,1) = SMNC SABC ( ) n VmSABC SA SB SC k2 a3 2 a 3 2 9 k 2 Từ , , ta có Vk==... S. MNC 2( 3kk−− 1) 3 27 3 1 aa332 1 2 1 VS. MNC =. 3 k + 1 + = . 3 k − 1 + + 2 . 27 3kk−− 1 27 3 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương, ta có: 3 a32 1 4 a 3 2 2 a 3 Vk . 2. 3 − 1 . + 2 = = . . S. MNC ( ) 27 3k − 1 27 3 2 122 2 Dấu “=” xảy ra 3k − 1 = ( 3 k − 1) = 1 k = ( do k 1). 3k − 1 3 5 3 2 a3 2 Vậy VS. MNC min= . =k . 3 2 3 Theo đề bài, thể tích khối chóp nhỏ nhất bằng , với , nên ta có mn==2, 3, suy ra mn+=5 . Ví dụ 6. Cho hình lập phương ABCD.'''' A B C D có cạnh bằng a . G là trung điểm của BD ' , mặt phẳng (P) thay đổi qua cắt AD', CD ', B ' D ' tương ứng tại HIK,, . Tìm giá trị 1 1 1 lớn nhất của biểu thức T = + + . DHDIDIDKDKDH'.''.''.' Trang 9
10. 8 16a2 8a2 16 A. . B. . C. . D. . 3a2 3 3 3a2 Lời giải Bổ đề: Cho tứ diện SABC có SA= SB = SC = a . Một mặt phẳng ()P thay đổi qua trọng tâm G của tứ diện lần lượt cắt SA,, SB SC tại MNP,,. 1 1 1 4 CMR : + + = . SM SN SP a Chứng minh: Gọi G là trọng tâm ABC . Theo tính chất trọng tâm của tứ diện ta có SGG,, thẳng SG 3 hàng và = . SG 4 1 Thêm nữa VVVV= = = . SABG SBCG SG CA3 SABC Ta có: VVVSMNGSM SN SG3 SMNG3 SM . SN SMNG SM . SN =. . =22 = ( 1) (Lưu ý VSABG SA SB SG V SABC44 a V SABC a SA== SB a ). VSNPG SN. SP VSGPM SP. SM Lập luận tương tự thu được = 2 (2) và = 2 (3) . VaSABC 4 VaSG CA 4 Cộng theo vế các đẳng thức (1) , (2) , (3) ta được VSMNP SM... SN++ SN SP SP SM SM SN SP SM... SN++ SN SP SP SM = 2 =.. 2 VaSABC 4 SA SB SC4 a 1 1 1 4 4a23 . SM . SN . SP =( SM . SN + SN . SP + SP . SM) . a + + = . (đpcm). SM SN SP a Trang 10
11. Xét hình lập phương . Ta có hình chiếu của DB' lên mặt phẳng ( ABCD) là DB , trên ta có DB⊥ AC nên D' B⊥ AC . Tương tự, ta có DBBC''⊥ . Từ đó suy ra D'' B⊥ ( B AC) . Xét tứ diện D'' AB C là tứ diện đều cạnh bằng a 2 . Vì nên DB' là đường cao của tứ diện. 3 Gọi G ' là giao điểm của với (B' AC) , ta chứng minh được DGDG'''= 4 (đã chứng minh ở lớp 11) Vì tứ diện là tứ diện đều nên G là trọng tâm của tam giác B AC , suy ra G là trọng tâm của tứ diện D AB C . 2 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: T = + + + + (1) DHDIDIDKDKDHDHDIDK'.' '.' '.' 3' ' ' 1 1 1 (Dấu bằng xảy ra khi = = DHDIDK''' = = ) DHDIDK''' ÁP DỤNG Bổ đề trên: Xét tứ diện D'' AB C là tứ diện đều cạnh bằng , ta có 1 1 1 4 + + = (2) DHDIDK''' a 2 Từ (1) ,( 2) ta được 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4 8 T = + + + + =. = 2 DHDIDIDKDKDH'.' '.' '.'3' DHDIDK ' ' 3 a 2 3 a . ABCD.'''' A B C D Trang 11
12. Ví dụ 7. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E là trung điểm của SC . Mặt phẳng ( ) thay đổi nhưng luôn chứa AE cắt SB , SD lần lượt tại M , N . Xác SM SN định vị trí của , trên các cạnh , sao cho + đạt giá trị lớn nhất. SB SD Lời giải S M E I A B N O D C Trong ( ABCD) gọi O= AC BD , trong mp ( ) gọi I= AE MN . Khi đó ta có I  AE( SAC) + I SO =( SAC) ( SBD) suy ra I là trọng tâm tam giác SAC . I  MN( SBD) VV11SM SE SM + S.. AME= S AME = = VS.. ABCD2 V S ABC 2 SB SC 4 SB VV11SN SE SN + S.. ANE= S ANE = = VS.. ABCD2 V S ACD 2 SD SC 4 SD VVVS... AMEN S ANE+ S AME 1 SN SM Suy ra = = + (1) VS.. ABCD V S ABCD 4 SD SB VV1 SM SN + S.. AMN== S AMN VS.. ABCD22 V S ABD SB SD VVS.. MEN S MEN 11SM SN SE SM SN + = = = VS.. ABCD2 V S BCD 2 SB SD SC 4 SB SD VVV+ 3 SN SM Suy ra S... AMEN== S AMN S MEN (2) VS.. ABCD V S ABCD 4 SD SB 13 SN SM SN SM SN SM SN SM Từ (1) và (2) ta có + = + = 3 44 SD SB SD SB SD SB SD SB SN = x SD x 1 xy , 0 1 Đặt (0 xy , 1) vậy ta có x+= y3 xy suy ra yx= ⎯⎯⎯→ 1 SM 3x − 1 2 = y SB Trang 12
13. SM SN x 11 Ta có + =x + y = x + = x + + = f( x) SB SD(3 x−− 1) 3 3( 3 x 1) 1 1 1 Xét f( x) = x + +, x ;1 3 3( 3x − 1) 3 1 x ;1 12 3x −= 1 1 3 f'( x) = 1 −2 = 0 ⎯⎯⎯→ = x (31x − ) 3x − 1 = − 1 3 Bảng biến thiên 1 xy=1 = SM SN 3 2 Vậy ta có Max + =max f( x) = đạt được khi SB SD 1 2 1 ;1 xy= =1 2 2 Khi đó ND , M là trung điểm SB hoặc MB , N là trung điểm SD Ví dụ 8. Cho hình nón ()H có đỉnh S , chiều cao là h và mặt phẳng ()P song song với mặt phẳng đáy của khối nón. Một khối nón ()T có đỉnh là tâm của đường tròn đáy của và đáy của là thiết diện của với hình nón. Thể tích lớn nhất của là bao nhiêu? 4 Rh2 4 Rh2 Rh2 Rh22 A. . B. . C. . D. . 81 27 24 3 Lời giải Gọi O và O' lần lượt là tâm của đường tròn đáy của hình nón và . hR, là chiều cao và bán kính của hình nón . Trang 13
14. hR', ' là chiều cao và bán kính của hình nón (0' hh) . Vì mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy của khối nón nên từ hình vẽ ta có: SO'''''' CO R R h− h h + = = = RR' = . 1 − . SO AO R R h h 2 122 1 h ' + V()T = R' h ' = R 1 − h ' . 33 h 2 2 h'()= h ktm h' 4 h ' 3 h ' Xét hàm số f(')1 h= − h ' f '(')1 h = − + = 0 h . hhh2 h'()= tm 3 Ta có bảng biến thiên: hh4 Từ bảng biến thiên ta có hàm số fh( ') đạt giá trị lớn nhất là f = . 3 27 4 Rh2 Vậy thể tích của khối nón đạt giá trị lớn nhất V = . ()T 81 ()P ()T III. Bài tập vận dụng III.1. Phần đề bài Câu 1. Một khối gỗ hình hộp chữ nhật có kích thước thoả mãn: Tổng của chiều dài và chiều rộng bằng 12cm ; tổng của chiều rộng và chiều cao là 24cm . Hỏi thể tích lớn nhất mà khối hộp có thể đạt được là bao nhiêu? A. 288cm3 . B. 384 3cm3 . C. 1782cm3 . D. 864cm3 . Câu 2. Trong không gian cho bốn mặt cầu có bán kính lần lượt là 2;3;3;2 (đơn vị độ dài) đôi một tiếp xúc nhau. Mặt cầu nhỏ tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu nói trên có bán kính bằng 7 3 6 5 A. . B. . C. . D. . 15 7 11 9 Trang 14
15. Câu 3. Cho hình chóp S. ABC có SA⊥ ( ABC) , SB= a 2 , hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau. Góc giữa SC và (SAB) bằng 450 , góc giữa SB và mặt đáy bằng (0 900 ) . Xác định để thể tích khối chóp S. ABC đạt giá trị lớn nhất. A. =600 . B. =300 . C. =450 . D. =700 . Câu 4. Cho hình chóp S. ABC có SA⊥ ( ABC) , SB= a 2 , hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau. Góc giữa SC và (SAB) bằng 45o , góc giữa SB và mặt đáy bằng ,( 0oo 90 ) . Xác định để thể tích khối chóp S. ABC lớn nhất. A. = 60o . B. = 30o . C. = 45o . D. = 70o . Câu 5. Cho hình chóp S.D ABC có đáy ABCD là hình thang cân đáy AB , nội tiếp đường tròn tâm O , bán kính R . Biết rằng AC BD tại I , đồng thời I là hình chiếu của S lên ABCD và SAC vuông tại S . Thể tích lớn nhất của khối chóp S. ABCD theo R là 2 1 3 A. R3 . B. R3 . C. R3 . D. R3 3 2 4 Câu 6. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng :xy− − 4 = 0 , mặt cầu ( ) 2 22 222 (S1 ) :( x− 1) + y + z = 1 và mặt cầu (S2 ) :( x− 4) +( y − 5) + z = 4. Điểm A thuộc mặt phẳng ( ), điểm M thuộc mặt cầu (S1 ) , điểm N thuộc mặt cầu (S2 ). Khi dó AM+ AN nhỏ nhất bằng A. 5 . B. 8 . C. 11. D. 32. Câu 7. Cho lăng trụ đứng ABC. A B C có AB=6; BC = 12; ABC = 600 . Thể tích khối chóp C . ABB A bằng 216. Gọi M là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho tổng diện tích các mặt bên của hình chóp M. ABC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng BM , AC ? 2 2 2 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 2 2 22 Câu 8. Trong không gian Oxyz cho hai mặt cầu (S1 ) :( x+ 4) + y + z = 16 , 2 22 (S2 ) :( x+ 4) + y + z = 36 và điểm A(4;0;0) .Đường thẳng di động và luôn tiếp xúc với (S1 ) đồng thời cắt (S2 ) tại hai điểm BC, . Tam giác ABC có thể có diện tích lớn nhất là A. 28 5 . B. 72 . C. 48 . D. 24 5 . Câu 9. Cho hình chóp S. ABCD , có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của cạnh SC . Mặt phẳng ()P chứa AM lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại BD'', ( khác S ). Giá trị lớn '' SB SD a * nhất của u =+ là , (,)a b N tối giản. Tích ab. bằng: SB SD b A. 3 . B. 12. C. 15. D. 6 . Trang 15
16. Câu 10. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi I là điểm thuộc 1 đoạn SO sao cho SI= SO . Mặt phẳng ( ) thay đổi đi qua B và I . ( ) cắt các 3 cạnh SA , SC , SD lần lượt tại M , N , P . Gọi m , n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá V trị nhỏ nhất của S. MBNP . Giá trị của mn+ là VS. ABCD 4 6 14 1 A. . B. . C. . D. . 15 75 75 5 Câu 11. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6 biết các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng 32. Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp . A. 3 . B. 22. C. 23. D. 4 . Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(4;0;0) , B( 0;4;0) , S( 0;0; c) và x−1 y − 1 z − 1 đường thẳng d : ==. Gọi AB , lần lượt là hình chiếu vuông góc của 112 O lên SA, SB . Khi góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (OA B ) lớn nhất,mệnh đề nào sau đây đúng? A. c ( −8; − 6) . B. c ( −9; − 8) . C. c (0;3). D. 17 15 c −; − . 22 Câu 13. Cho hình lập phương ABCD.'''' A B C D . Điểm M nằm trên cạnh AA' sao cho góc a BMD' lớn nhất, đặt góc lớn nhất đó là . Biết cos = ;a , b ;( a , b) = 1; b 0 . b Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ab1. B. ab+=2 . C. ab+=3 . D. ab+=4 . Câu 14. Cho khối chóp S. ABC có SA vuông góc với đáy, tam giác ABC vuông tại B . Biết rằng 5 thể tích của khối chóp là và giá trị nhỏ nhất diện tích toàn phần chóp S. ABC là 24 pq5 + trong đó pq, . Tính giá trị biểu thức: pq22+=? 37 37 25 A. pq22+= . B. pq22+= . C. pq22+= . D. 36 9 4 pq22+=16 . Câu 15. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O . Gọi I là điểm thuộc đoạn 1 SO sao cho SI= SO . Mặt phẳng ( ) thay đổi đi qua B và I . cắt các cạnh 3 V SA,, SC SD lần lượt tại MNP,,. Gọi mn, lần lượt là GTLN, GTNN của S. BMPN . VS. ABCD m Tính ? n 7 14 8 A. 2 . B. . C. . D. . 5 75 5 Trang 16
17. Câu 16. Trong không gian cho bốn mặt cầu có bán kính lần lượt là 2;3;3;2 (đơn vị độ dài) đôi một tiếp xúc nhau. Mặt cầu nhỏ tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu nói trên có bán kính bằng 7 3 6 5 A. . B. . C. . D. . 15 7 11 9 Câu 17. Cho tứ diện SABC và G là trọng tâm của tứ diện. Một mặt phẳng ( ) quay quanh AG cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại M và N ( MN, không trùng S ). Gọi V là thể tích tứ diện SABC , V1 là thể tích tứ diện SAMN và gọi mn, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá V trị nhỏ nhất của 1 . Hãy tính mn+ . V 17 18 A. mn+=1. B. mn+= . C. mn+= . D. 18 19 19 mn+= . 20 Câu 18. Cho hình chóp đều S. ABC có AB==1, ASB 300 . Lấy các điểm BC', ' lần lượt thuộc các cạnh SB, SC sao cho chu vi tam giác AB'' C nhỏ nhất. Tính chu vi đó. 1 A. . B. 31− . C. 3 . D. 13+ . 13+ Câu 19. Trong mặt phẳng P cho tam giác ABC đều cạnh bằng 8cm và một điểm S di động ngoài mặt phẳng P sao cho tam giác MAB luôn có diện tích bằng 16 3cm2 , với M là trung điểm của SC . Gọi S là mặt cầu đi qua bốn đỉnh M , A , B , C . Khi thể tích hình chóp S. ABC lớn nhất, tính bán kính nhỏ nhất của S : 16 6 43 4 15 4 39 A. cm . B. cm . C. cm . D. cm . 9 3 3 3 Câu 20. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD đáy là hình vuông cạnh a , SA= a 3 . Và SA vuông góc với đáy. M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc hai cạnh BC và CD sao cho MAN = 450 . Tính tỉ số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S. AMN 12+ 12+ A. −+2 2 2 . B. . C. 2 2− 1. D. . 6 2 Câu 21. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A B C D có tổng diện tích tất cả các mặt là 36, độ dài đường chéo AC bằng 6 . Hỏi thể tích của khối hộp chữ nhật lớn nhất là bao nhiêu? A. 82. B. 66. C. 24 3 . D. 16 2 . Câu 22. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và đường cao SA= 2 a . MNPQ là thiết diện song song với đáy, M SA và AM= x . Xét hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác và đường sinh MA . Giá trị của x để thể tích khối trụ lớn nhất là a 2a a 3a A. x = . B. x = . C. x = . D. x = . 3 3 2 4 Trang 17
18. Câu 23. Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC đều cạnh 2a và tam giác ABD vuông tại D , a AD = . Khoảng cách lớn nhất từ B đến mặt phẳng ( ACD) là? 2 22a a 3 A. . B. a 3 . C. . D. 23a . 2 3 Câu 24. Cho khối chóp tứ giác đều S. ABCD mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng 2a . Gọi là góc giữa mặt bên của hình chóp với đáy của hình chóp đó. Với giá trị nào của thì thể tích của khối chóp đạt giá trị nhỏ nhất? 2 2 A. = arcsin . B. = 450 . C. = arccos . D. = 600 . 3 3 Câu 25. Cho hình chóp SABCD , có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , SA= SB = SC = a .Đặt x= SD(03 x a ) Tìm x theo a để tích AC.SD đạt giá trị lớn nhất. a 3 a 3 a 6 A. x = . B. x = . C. x = . D. Đáp án 2 3 2 khác. .Câu 26. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Hai điểm MN, di động trên các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN ) vuông góc mặt phẳng ( ABC) . Gọi SS12, lần S lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác AMN . Tính T = 1 . S2 8 9 8 9 A. T = . B. T = . C. T = . D. T = . 9 8 7 7 Câu 27. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.''' A B C với độ dài tất cả các cạnh đều bằng a . Xét tất cả các đoạn thẳng song song với mặt phẳng ( ABB'' A ) và có một đầu E nằm trên đường chéo AC' của mặt bên AA'' C C , còn đầu kia F nằm trên đường chéo BC ' của mặt bên BB'' C C . Hãy tìm độ dài ngắn nhất của các đoạn thẳng này. 2a a a 2a A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Câu 28. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)bằng b . Góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp bằng . Tìm để thể tích của khối chóp S. ABCD nhỏ nhất. 3 1 A. = arccos . B. = arccos( 3) . C. = arccos . D. 3 3 2 = arccos . 3 Câu 29. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA= b và vuông góc với ( ABCD) . Điểm M thay đổi trên cạnh CD với CM= x(0 x a) . H là hình chiếu vuông góc của S trên BM . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S. ABH theo ab, . Trang 18
19. ab2 ab2 ab2 ab2 A. . B. . C. . D. . 12 24 8 18 Câu 30. Cắt một khối trụ tròn có chiều cao h bởi một mặt phẳng song song với hai mặt đáy ta thu được hai khối tròn nhỏ. Một trong hai khối đó ngoại tiếp một lăng trụ đứng thể tích V có đáy là tam giác có chu vi là p. Khối còn lại ngoại tiếp một khối nón (H) có bán kính là R ( R thay đổi). Tìm giá trị của R sao cho thể tích của khối nón là lớn nhất? p3 hp3 p3 p3 A. R = . B. R = . C. R = . D. R = 162V 162V 162 162V . Câu 31. Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều S. ABCD cạnh bên bằng 200m , ASB =150 bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS trong đó điểm L cố định và LS = 40m (tham khảo hình vẽ). Khi đó cần dùng ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí? A. 40 67+ 40 mét. B. 20 111+ 40 mét. C. 40 31+ 40 mét. D. 40 111+ 40 mét. Câu 32. Chohình chóp S. ABC có các cạnh bên bằng 1. Mặt phẳng ( ) thay đổi luôn đi qua trọng tâm của hình chóp, cắt ba cạnh bên SA,, SB SC lần lượt tại DEF,, . Tìm giá trị 1 1 1 lớn nhất P của P = + + . max SD... SE SE SF SF SD 4 16 4 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 4 Câu 33. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.'''' A B C D có AC a,',D' AD b C c . Tìm thể tích lớn nhất của hình chữ nhật đã cho khi abc,, thay đổi, còn chu vi tam giác ACD' không đổi. Câu 34. Cho tứ diện ABCD,,, AB== x CD y các cạnh còn lại của tứ diện bằng a 2, xy, thay đổi sao cho x+= y2. a Khi VABCD đạt giá trị nhỏ nhất, tính cosin của góc giữa ( ABC) và ( ABD). Câu 35. Cho hình chóp SABCD có đáy là ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh SA= a và vuông góc với mp (ABCD ). M là điểm di động trên đoạn BC và BM= x(0 x a) , K là hình chiếu của S trên DM. Trang 19
20. a) Tính độ dài đoạn SK theo a và x . b) Tìm min của đoạn SK. Câu 36. Cho hình chóp S. ABCD có tứ giác ABCD là hình bình hành tâm O . Điểm C di động trên cạnh SC (C khác điểm S và C ). Mặt phẳng (R) chứa đường thẳng AC và song song với BD . Mặt phẳng cắt đường thẳng SB , SD lần lượt tại BD , . 1/ Gọi F là giao điểm của AD với BC . Chứng minh rằng F luôn di động trên một đường thẳng cố định khi C di động trên SC . SC BB 5 SD 2/ Xác định vị trí của điểm C sao cho tổng ++3. đạt giá trị nhỏ CC SB 2 DD nhất. Câu 37. Trong mặt phẳng cho hình chữ nhật ABCD có AB== a;2 BC a . Các điểm MN, lần lượt di chuyển trên các đường thẳng mn, vuông góc với mặt phẳng ( ) tại AB, sao cho DM⊥ CN . Tìm giá trị nhỏ nhất của khối tứ diện CDMN . Câu 38. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB song song với CD , AB= 2 CD , các cạnh bên có độ dài bằng 1. Gọi O= AC BD , I là trung điểm của SO . Mặt phẳng ( ) thay đổi đi qua I và cắt các cạnh SA,,, SB SC SD lần lượt tại 1 1 1 1 MNPQ,,, . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = + + + . SM2 SN 2 SP 2 SQ 2 Câu 39. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA,, OB OC đôi một vuông góc. Gọi M là điểm thuộc miền trong của tam giác ABC . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA2 MB 2 MC 2 T =++ . OA2 OB 2 OC 2 Trang 20