Đề tài Một số kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Nội dung tài liệu: Đề tài Một số kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Người viết: Trần Việt Phương Giáo viên mơn Tốn, tổ Tốn – Tin Trường THPT Chuyên Bắc Giang BẮC GIANG, THÁNG 2 NĂM 2024
2. MỤC LỤC MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 2 NỘI DUNG ...................................................................................................... 4 Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .............................................. 4 I.1. Cơ sở lý luận ........................................................................................... 4 I.2. Cơ sở thực tiễn ........................................................................................ 4 Chương II: KIẾN THỨC CƠ BẢN .................................................................. 5 II.1. Định nghĩa ............................................................................................. 5 II.2. Tính chất ................................................................................................ 5 II.3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối ............................................................ 5 II.4. Bất đẳng thức Cauchy ............................................................................ 5 Chương III: MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 7 III.1. Kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân ................... 7 III.2. Kĩ thuật tách nghịch đảo ..................................................................... 12 III.3. Kĩ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng ................. 14 III.4. Kĩ thuật ghép đối xứng ....................................................................... 20 III.5. Kĩ thuật sử dụng cặp nghịch đảo ......................................................... 24 III.6. Kĩ thuật đổi biến số ............................................................................. 29 III.7. Kĩ thuật đánh giá mẫu số và Cauchy ngược dấu .................................. 33 KẾT LUẬN .................................................................................................... 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 40
3. MỞ ĐẦU I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bất đẳng thức là một chuyên đề hay và khĩ trong chương trình tốn phổ thơng. Trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Bắc Giang, Đại học, Cao đẳng và kì thi học sinh giỏi các cấp thì bài tốn liên quan đến bất đẳng thức là mảng kiến thức quan trọng và thường được sử dụng. Khi đề cập đến bất đẳng thức thì học sinh phổ thơng thường liên tưởng ngay đến một bất đẳng thức cơ bản và quen thuộc, đĩ là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân mà chúng ta vẫn hay gọi là bất đẳng thức Cauchy (Cơsi). Tên đúng và đầy đủ của bất đẳng thức trung bình là Arithmetic mean - Geometric mean, được viết tắt là AM-GM. Bất đẳng thức này rất dễ nhớ và được sử dụng nhiều. Tuy nhiên, trong từng trường hợp cụ thể thì việc vận dụng bất đẳng thức như thế nào là vấn đề mà tác giả muốn đề cập đến trong bài viết này. Qua những năm dạy ơn thi học sinh giỏi cấp tỉnh, ơn thi Đại học, Cao đẳng tơi xin trình bày đề tài: “Một số kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy”. Với mong muốn là cĩ một tài liệu phục vụ giảng dạy, đặc biệt là đối tượng học sinh khá, giỏi. II. MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Xác định các sai sĩt cơ bản của người học khi giải bài tập tốn minh bất đẳng thức. - Phân loại một số kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy thường gặp. - Giúp học sinh phát huy được tính chủ động, tích cực, tìm tịi, sáng tạo trong học tập cũng như trong cuộc sống. 2
4. - Tạo ra hệ thống kiến thức liên kết, lơgic, chặt chẽ làm tài liệu học tập và tham khảo cho học sinh và giáo viên. III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phân tích, tổng hợp, thu thập tài liệu và các thơng tin. - Phân tích, rút kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy ơn thi Đại học, Cao đẳng và ơn thi học sinh giỏi cấp tỉnh. VI. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU – ĐĨNG GĨP CỦA ĐỀ TÀI - Đối tượng nghiên cứu: Chuyên đề bất đẳng thức trong chương trình Tốn THPT mà trọng tâm là bất đẳng thức Cauchy trong kì thi Đại học, Cao đẳng và kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh của Bắc Giang. - Áp dụng: Giảng dạy ơn thi học sinh giỏi cấp tỉnh, dạy ơn nâng cao, ơn thi Đại học, Cao đẳng. - Nội dung nghiên cứu: Tìm hiểu và vận dụng một số phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy trong chứng minh bất đẳng thức. 3
5. NỘI DUNG Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN I.1. Cơ sở lý luận Dạy tốn là dạy hoạt động Tốn học. Đối với người học, cĩ thể xem việc giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động Tốn học. Các bài tập tốn ở hầu hết các chuyên đề tốn THPT là một phương tiện rất cĩ hiệu quả và khơng thể thay thế được trong việc giúp người học nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng tốn học vào thực tiễn. Vì vậy, tổ chức cĩ hiệu quả việc giải bài tập tốn cĩ vai trị quyết định đối với chất lượng dạy và học Tốn. Trong thực tiễn dạy học, bài tập Tốn được sử dụng với những dụng ý khác nhau. Một bài tập cĩ thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ làm việc với nội dung mới. Việc giải bài tập tốn cung cấp cho học sinh khơng chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư duy. Từ những kiến thức cơ bản dẫn dắt học sinh cĩ được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên chứ khơng áp đặt. I.2. Cơ sở thực tiễn Thực tiễn phần lớn học sinh tham gia các kì thi tuyển sinh lớp 10, Đại học, Cao đẳng và cả kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh thường khơng làm được bài tốn liên quan đến bất đẳng thức. Số học sinh hiểu và được điểm của phần này rất thấp thậm chí khơng cĩ, đa số các em chỉ được điểm trung bình hoặc yếu. Ngồi ra, số lượng thời gian nghiên cứu chuyên sâu phần bất đẳng thức trong kiến thức của chương trình trung học rất ít nên học sinh chưa để ý đến các kiến thức mà giáo viên giảng trong phần này. Dẫn đến học sinh khơng cĩ hứng thú và khi bắt gặp dạng tốn bất đẳng thức thường cĩ tâm lí bỏ qua. Qua đề tài nghiên cứu này tơi hi vọng sẽ là cơng cụ hữu ích cho những em học sinh cĩ hứng thú học tập bộ mơn Tốn nĩi chung và chuyên đề Bất đẳng nĩi riêng. 4
6. Chương II: KIẾN THỨC CƠ BẢN II.1. Định nghĩa ABAB 0. II.2. Tính chất II.2.1. ABBA ; II.2.2. AB và BC AC ; II.2.3. ABACBC ; II.2.4. AB và CD ACBD ; II.2.5. A>B và C > 0 A.C > B.C; II.2.6. A>B và C < 0 A.C < B.C; II.2.7. 0 < A < B và 0 < C < D 0 < A.C < B.D; II.2.8. A B 0 An B n , n ; 1 1 II.2.9. AB và AB. 0 . AB II.2.10. A2 0 với  A, dấu đẳng thức xảy ra khi A = 0. II.3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối II.3.1. A 0 với  A, dấu đẳng thức xảy ra khi A = 0. II.3.2. AAA ; II.3.3. ABABAB . II.4. Bất đẳng thức Cauchy II.4.1. Bất đẳng thức Cauchy tổng quát Cho n số thực khơng âm a1, a 2 , ..., an ; n 2, n , ta cĩ a a ... a Dạng 1: 1 2 n n a. a ... a ; n 1 2 n n Dạng 2: a1 a 2 ... an n . a 1 . a 2 ... a n ; n a1 a 2 ... an Dạng 3: a1. a 2 ... an . n 5
7. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 a 2 ... an . II.4.2. Các kết quả thường sử dụng II.4.2.1. Bất đẳng thức Cauchy cho hai số Cho x, y 0; ta cĩ x y xy; 2 x y 2 xy ; 2 x y xy . 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y. II.4.2.2. Bất đẳng thức Cauchy cho ba số Cho x, y , z 0; ta cĩ x y z 33 xyz ; 3 x y z 3.3 xyz ; 3 x y z xyz . 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z. 6
8. Chương III: MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY III.1. Kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân III.1.1. Các ví dụ Ví dụ 1.1. Cho a,,, b c chứng minh rằng (a2 b 2 )( b 2 c 2 )( c 2 a 2 ) 8 a 2 b 2 c 2 . Nhận xét: Đây là một ví dụ cơ bản, cĩ thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy. Tuy nhiên nếu khơng chú ý kĩ học sinh cũng rất dễ mắc sai lầm trong trình bày lời giải. Sai lầm thường gặp Sử dụng x,, y ta cĩ (x y )2 0 x 2 y 2 2 xy . Do đĩ a2 b 2 2 ab b2 c 2 2 bc 2 2 c a 2 ca (a2 b 2 )( b 2 c 2 )( c 2 a 2 ) 8 a 2 b 2 c 2 . Lời giải trên sai vì sử dụng phép nhân hai bất đẳng thức cùng chiều mà chưa đủ điều kiện giả thiết. Lời giải đúng Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta cĩ x2 y 2 2 x 2 y 2 2 xy , do đĩ a2 b 2 2 ab 0 b2 c 2 2 bc 0 2 2 c a 2 ca 0 (abbcca22222 )( )( 2 ) 8 abc 222 8 abc 222 . Vậy (a2 b 2 )( b 2 c 2 )( c 2 a 2 ) 8 a 2 b 2 c 2 . Ví dụ 1.2. Cho x1, x 2 , x 3 ,..., xn 0; n , n 2. Chứng minh rằng 7
9. 1 1 1 1 2 x1 x 2 x 3 ... xn ... n . x1 x 2 x 3 xn Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta cĩ n x1 x 2 x 3 ... xn n x 1 x 2 x 3 ... x n 0; 1 1 1 1 n ... 0. n x1 x 2 x 3 xn x1 x 2 x 3... xn 1 1 1 1 2 Từ đĩ suy ra x1 x 2 x 3 ... xn ... n . x1 x 2 x 3 xn Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 x 2 x 3 ... xn . Nhận xét: Các ví dụ trên ta cĩ thể sử dụng ngay bất đẳng thức Cauchy. Thực tế các bài tốn thường phải biến đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thức Cauchy. 3 Ví dụ 1.3. Cho a, b , c 0, chứng minh rằng (1 a )(1 b )(1 c ) 1 3 abc . Phân tích: Vai trị các biến như nhau, ta dự đốn dấu bằng xảy ra khi các biến nhận giá trị bằng nhau. Mặt khác vế phải chứa căn bậc 3 nên ta cĩ thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số khơng âm. Lời giải Ta cĩ (1 a )(1 b )(1 c ) 1 a b c ab bc ca abc 1 33 abc 3 3 a2 b 2 c 2 abc 3 1 3 abc . 3 Vậy (1 a )(1 b )(1 c ) 1 3 abc , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c. 2 2 Ví dụ 1.4. Cho x1 x 2 0, x 1 z 1 y 1 , x 2 z 2 y 2 . Chứng minh rằng 2 x1 x 2 z 1 z 2 y 1 y 2 . 8
10. Lời giải Theo giả thiết suy ra x1,,, x 2 z 1 z 2 cùng dấu nên x1 z 2 0, x 2 z 1 0. Do đĩ xx1 21 z z 2 xz 11 xz 22 xz 12 xz 21 2 2 y1 y 2 2 x 1 z 2 . x 2 z 1 2 2 y1 y 2 2 x 1 z 1 . x 2 z 2 2 2 2 2 y1 y 2 2 y 1 y 2 2 2 y1 y 2 y 1 y 2 . 2 Vậy x1 x 2 z 1 z 2 y 1 y 2 . Ví dụ 1.5. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a3 b 3 c 3 P . b2 3 c 2 3 a 2 3 Hướng dẫn Vai trị các biến như nhau, dự đốn dấu đẳng thức xảy ra khi a b c 1. a3 b 3 c 3 1 Khi đĩ a2 3 b 2 3 c 2 3 4 và . b2 3 c 2 3 a 2 3 2 Mặt khác từ giả thiết a2 b 2 c 2 3 nên ta áp dụng bất đẳng thức làm xuất hiện a2,,. b 2 c 2 Do đĩ cĩ thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số sau đây a3 a 3 b 2 3 a3 b 2 3 ,, , trong đĩ với a b 1. 2b2 3 2 b 2 3 m 2b2 3 m Suy ra m 16. (Kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy). Từ đây áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được a3 a 3 b 2 3 a 6 3 a 2 33 (1) 2b2 3 2 b 2 3 16 64 4 9
11. b3 b 3 c 2 3 b 6 3 b 2 33 (2) 2c2 3 2 c 2 3 16 64 4 c3 c 3 a 2 3 c 6 3 c 2 33 (3) 2a2 3 2 a 2 3 16 64 4 Từ (1), (2) và (3) suy ra a2 b 2 c 2 9 3 P a2 b 2 c 2 (4) 16 4 3 Vì a2 + b2 + c2 =3, nên từ (4) suy ra P . 2 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là Min P đạt được khi a = b = c = 1. 2 Ví dụ 1.6. (HSG Bắc Giang 2010) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca = 3. Chứng minh rằng 3 3 3 a b c 3 * b3 3 c 3 3 a 3 3 4 Hướng dẫn 3 3 3 Ta cĩ a a a . b2 3 b 2 ab bc ca (a b )( b c ) 3 3 3 Khi đĩ *. a b c 3 abbc bcca caab 4 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta cĩ 3 3 a a b b c 3 a a 5 a 2 b c (1) a b b c 8 8 4 a b b c 8 3 Tương tự b 5 b 2 c a (2) b c c a 8 3 c 5 c 2 a b (3) c a a b 8 Từ (1), (2) và (3) suy ra 10
12. 3 3 3 a b c a b c (4) (abbc )( )( bcca )( )( caab )( ) 4 2 Mặt khác a2 b 2 c 2 ab bc ca a b c 3 ab bc ca a b c 3. 3 3 3 Do đĩ a b c 3. (abbc )( ) ( bcca )( ) ( caab )( ) 4 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =1. III.1.2. Bài tập vận dụng Bài 1. Cho a, b , c 0. Chứng minh rằng (a b )( b c )( c a ) 8 abc . Bài 2. Cho a, b 0. Chứng minh rằng (1 a b )( a b ab ) 9 ab . Bài 3. (Đại học khối B năm 2005) Cho x, y , z 0, xyz 1. Chứng minh rằng 1 x3 y 3 1 y 3 z 3 1 z3 x 3 3 3. xy yz zx Bài 4. Cho a, b 0. Chứng minh rằng 3a3 7 b 3 9 ab 2 . Bài 5. Cho 2n số dương a1, a 2 , ..., an , b 1 , b 2 , ..., b n . Chứng minh rằng n n n ababab112233 ... abn n aaaa 123 ... n bbbb 123 ... n . Bài 6. Cho a, b , c 0. Chứng minh rằng 3 3 a b c 3 1 (1 a )(1 b )(1 c ) 1 abc 8 abc . 3 Bài 7. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 3 3 3 4a 4 b 4 c 3. (1 b )(1 c ) (1 c )(1 a ) (1 a )(1 b ) 1 1 1 1 Bài 8. Cho a, b , c , d 0 thỏa mãn điều kiện 3. 1 a 1 b 1 c 1 d 1 Chứng minh rằng abcd . 81 11
13. III.2. Kĩ thuật tách nghịch đảo III.2.1. Các ví dụ a b Ví dụ 2.1. Chứng minh rằng 2, a,b * . b a Lời giải a b Vì a, b 0 nên 0, 0. b a a b a b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta cĩ 2 . 2 . b a b a a b Vậy 2 , a,b * . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b. b a Nhận xét: Bài tốn cĩ thể mở rộng cho trường hợp a, b cùng dấu. 1 Ví dụ 2.2. Chứng minh rằng a 3,  a 1, a . a 1 Lời giải 1 1 1 Ta cĩ a a1 1 2 a 1 1 2 1 3. a 1 a 1 a 1 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 a 2. a 1 1 Vậy a 3,  a 1, a . a 1 a2 2 Ví dụ 2.3. Chứng minh rằng 2, a . a2 1 Lời giải a2 2 a 2 1 1 1 1 Ta cĩ a2 1 2 a 2 1 2. a2 1 a 2 1 a 2 1 a 2 1 a2 2 Vậy 2, a , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 0. a2 1 12
14. Ví dụ 2.4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau 2 2 2 a A a 1 2 , a 1, a . a 1 Lời giải 2 2 2 a 2 a 2 Ta cĩ A a 1 a 1 2 2 2 a 1 1 a 1 a 1 2 2 1 a 1 a 1 a 1 21 2 1 2 a 1 2 2 2 a 1 2 2 2 2. a 1 2 a 1 2 4 2 1 2 8 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 a 1 hay a . a 1 2 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là MinA = 2 2 + 2. 1 Ví dụ 2.5. Chứng minh rằng a 2 2,  a b 0. b() a b 2 Lời giải Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta cĩ 1a b a b 1 a b a b 1 a b 44 b . . . 2 2. b a b 22 2 b a b 2 2 2 b a b 1 Vậy a 2 2,  a b 0. b() a b 2 13
15. Nhận xét: Kĩ thuật tách nghịch đảo phần nguyên theo mẫu số để khi đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân thì các biểu thức chứa biến bị triệt tiêu chỉ cịn lại các hằng số. III.2.2. Bài tập vận dụng a2 b 2 Bài 1. Cho a b, ab 1, chứng minh rằng 2 2. a b 3a2 1 Bài 2. Chứng minh rằng , a 0. 1 9a4 2 2 Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A a ,  a 0. a2 1 Bài 4. Chứng minh rằng a 3,  a b 0. b() a b 4 Bài 5. Chứng minh rằng a 3,  a b 0. a b b 1 2 1 2a3 1 Bài 6. Cho a b,, a chứng minh rằng 3. 2 4b a b III.3. Kĩ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng III.3.1. Các ví dụ Ví dụ 3.1. Cho a, b , c 0; a b c 3. Chứng minh rằng 3a 2 b 3 b 2 c 3 c 2 a 3 3 3. Sai lầm thương gặp 1 1 (a 2 b ) 2 a 2 b Ta cĩ 3 1.1.(a 2 b ) , tương tự ta cĩ 3 3 2 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 3a 2 b 3 b 2 c 3 c 2 a 5, 3 3 3 mà 5 33 3 đề ra sai...? 14
16. a 2 b 1 b 2 c 1 Nguyên nhân sai lầm P VT 5, vậy Max P =5 ( vn ), c 2 a 1 a b c 3 vậy P 5. Lời giải đúng Ta dự đốn dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra khi a b c 1. Suy ra a 2 b b 2 c c 2 a 3. Nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số a 2 b , 3, 3 ta được 1 1 3 3 (a 2 b ) 6 a 2 b 3 a 2 b 3 3.3.( a 2 b ) . . 39 3 93 3 3 9 6 b 2 c 6 c 2 a Tương tự ta cĩ 3b 2 c ; 3 c 2 a . 33 9 3 3 9 6 a 2 b 6 b 2 c 6 c 2 a 3a 2 b 3 b 2 c 3 c 2 a 3 3 3 . 33 9 3 3 9 3 3 9 Vậy 3a 2 b 3 b 2 c 3 c 2 a 3 3 3. Dấu bằng xảy ra khi a b c 1. Ví dụ 3.2. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 1 1 1 P . 3a 3 b 3 b 3 c 3 c 3 a Hướng dẫn Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta cĩ 1 1 1 3 1 1 1 9 (x y z ) 33 xyz 9 (*) x y z 3 xyz x y z x y z Áp dụng (*) ta được 1 1 1 9 P . 3abbccaabbcca 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Sử dụng kết quả ví dụ 3.1 suy ra đáp số. 15
17. 3 Ví dụ 3.3. Cho x, y , z 0, x y z . Tìm giá tri lớn nhất của biểu thức 4 P 3 x 3 y 3 y 3 z 3 z 3 x . Nhận xét: Ta thấy x,, y z cĩ vai trị như nhau trong biểu thức. Từ đĩ ta 1 dự đốn dấu bằng xảy ra khi x y z . Khi đĩ x 3 y 1, y 3 z 1, 4 z 3 x 1, mặt khác để khử được căn bậc ba ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương như sau Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được x 3 y 1 1 3 x 3 y .1.1 ; 3 y 3 z 1 1 3 y 3 z .1.1 ; 3 z 3 x 1 1 3 z 3 x .1.1 . 3 4(x y z ) 6 Cộng vế theo vế suy ra P 3 x 3 y 3 y 3 z 3 z 3 x 3. 3 1 Vậy MaxP 3 khi x y z . 4 Ví dụ 3.4. Cho a, b , c 0 và a b c 3 tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S 3 a b 2 c 3 b c 2 a 3 c a 2 b . Nhận xét: Vì S là biểu thức đối xứng của a,, b c nên dự đốn giá trị lớn nhất của biểu thức đạt được tại điều kiện a b c 3 a 3 b 3 c 3 a b c 1 . a b c 3 b 2 c c 2 a a 2 b 3 Từ việc chọn điểm rơi ta cĩ lời giải như sau: 16
18. Lời giải 1 1 3a b 2 c 3 Ta cĩ 3a b 2 c 3 3 a b 2 c .3 . 39 3 9 3 1 3b c 2 a 3 Tương tự 3 b c 2 a 3 9 3 1 3c a 2 b 3 3 c a 2 b 3 9 3 1 6 a b c 9 3a b 2 c 3 b c 2 a 3 c a 2 b 33 3. 3 9 3 Vậy MaxS 33 3, khi a b c 1. Ví dụ 3.5. (Dự bị HSG Bắc Giang 2010) Cho a, b , c 0 thỏa mãn ab bc ca 3, chứng minh rằng 3a 5 b 3 c 3 b 5 c 3 a 3 c 5 a 3 b 6. Nhận xét: Vì vế trái là biểu thức đối xứng của a,, b c nên dự đốn đẳng thức xảy ra khi các biến thỏa mãn hệ a b c a b c1 5 b 3 c 5 c 3 a 5 a 3 b 8. ab bc ca 3 Giả thiết bài tốn cho ab bc ca 3 nên khơng áp dụng được như ví dụ 2. Do đĩ áp dụng Cauchy làm xuất hiện ab,, bc ca . Từ đĩ ta cĩ lời giải như sau: Lời giải Ta cĩ 1 1 8 8 5ab 3 ac 3a 5 b 3 c 3 5 ab 3 ac 3 8.8. 5 ab 3 ac 1 4 4 3 1 8 8 5bc 3 ba Tương tự 3 b 5 c 3 a 2 4 3 1 8 8 5ca 3 cb 3 c 5 a 3 b 3 4 3 Từ (1), (2) và (3) suy ra 17
19. 1 48 8 ab bc ca 3a 5 b 3 c 3 b 5 c 3 a 3 c 5 a 3 b . 6. 4 3 Đẳng thức xảy ra khi a b c 1. Vậy 3a 5 b 3 c 3 b 5 c 3 a 3 c 5 a 3 b 6. 2 3 Ví dụ 3.6. Chứng minh rằng A sin2 x .cos x . 9 Hướng dẫn Đặt t cos x ta được A 1 t2 t với t 1. 2 3 Khi đĩ bất đẳng thức trở thành A 1 t2 t với t 1. 9 Vì A 1 t2 t với t 1 nên chưa áp dụng được bất đẳng thức Cauchy ngay. Muốn áp dụng được chúng ta xét A2. 3 2 2 2 2 1 1 1 t 1 t 2 t 4 A2 1 t 2 t 2 1 t 2 1 t 2 2 t 2 . 2 2 3 27 4 2 3 Từ đĩ suy ra AA . 27 9 Nhận xét: Học sinh lớp 12 cĩ thể giải bài tốn bằng các phương pháp hàm số. Cĩ thể giải bài tốn trực tiếp sau đĩ sử dụng đẳng thức sin2x cos 2 x 1. Từ cách giải bài tốn trên cĩ thể chứng minh được bài tốn tổng quát sau: mm. n n Ví dụ 3.7. Chứng minh rằng B sinm x .cos n x ; 1 m , n . m n m n Hướng dẫn 2 2m 2 n 1 2 2 2 2 B sin xx .cos m n nxnxmxmx sin ... sin . cos ... cos n m 18
20. m n 2 2 2 2 1 nsin x ... n sin x m cos x ... m cos x nm m n m n m n 2 2 m n 1 mn sin x cos x 1 mn mm n n m n m n m n . n m m n n m m n m n Từ đĩ suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Chú ý: Để sử dụng bất đẳng thức từ trung bình nhân sang trung bình cộng chúng ta lưu ý các đặc điểm sau: Số các số hạng trong căn đúng bằng chỉ số căn. Nếu số các số hạng nhỏ hơn chỉ số căn thì ta nhân thêm hằng số thích hợp để số các số hạng bằng chỉ số căn đồng thời đảm bảo dấu bằng xảy ra khi áp dụng. III.3.2. Bài tập vận dụng Bài 1. Cho x, y , z 0 và x3 y 3 z 3 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M x2... yz y 2 zx z 2 xy Bài 2. Cho a, b , c 0; a b c 1. Chứng minh rằng 8 abc a b b c c a . 729 8 Bài 3. Cho a, b , c 0; a b c 1. Chứng minh rằng ab bc ca abc . 27 Bài 4. Cho 0 x 3; 0 y 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 3 x 4 y 2 x 3 y . Bài 5. Cho a 3, b 4, c 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ab c 2 bc a 3 ca b 4 A . abc Bài 6. Cho a, b , c 0. Chứng minh rằng 3 abc 1 3 (1 a )(1 b )(1 c ). 19