Đề tài Phương trình hàm với phép biến đổi đối số

Nội dung tài liệu: Đề tài Phương trình hàm với phép biến đổi đối số

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH BẮC GIANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỐI SỐ NGƯỜI THỰC HIỆN: NGUYỄN THÙY DUNG GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: VŨ THỊ VÂN LẠI THU HẰNG Bắc Giang, tháng 03 năm 2023
2. Mục lục Trang Mục lục .. 1 Mở đầu .. 2 Chương I. SƠ LƯỢC VỀ ÁNH XẠ, HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH HÀM. 3 I.1. Một số kiến thức về hàm số, ánh xạ 3 I.2. Một số kiến thức về phương trình hàm . 4 Chương II. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM TUẦN HOÀN, PHẢN TUẦN HOÀN CỘNG TÍNH. 9 II.1 Kiến thức cần nhớ 9 II.2 Bài tập .. 10 II.3 Một số bài tập tự luyện 20 Chương III. HÀM SỐ XÁC ĐỊNH BỞI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TỊNH TIẾN VÀ ĐỒNG DẠNG. 21 III.1 Phương trình hàm sinh bởi phép đối xứng, phép nghịch đảo. Các bài toán liên quan đến hàm chẵn, hàm lẻ. 21 III.2 Phương trình hàm dạng f().() x a f x b .. 24 III.3 Phương trình hàm dạng f(.).() a x f x b 28 III.4 Phương trình hàm dạng f().() ax b c f x d . 33 III.5 Một số bài tập tự luyện 43 Chương IV. HÀM SỐ XÁC ĐỊNH BỞI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI PHÂN 44 TUYẾN TÍNH. IV.1 Một số kiến thức cơ bản 44 IV.2 Ví dụ và phương pháp giải 44 IV.3 Một số bài tập tự luyện . 53 Kết luận .. 53 Tài liệu tham khảo .. 54 1
3. MỞ ĐẦU Phương trình hàm là một nội dung không thể thiếu trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi bậc THPT, cũng là một chuyên đề quan trọng thuộc chương trình chuyên toán trong các trường THPT chuyên. Các bài toán về phương trình hàm rất phong phú và đa dạng, hay và thường rất khó, bao gồm nhiều mảng kiến thức sâu rộng. Nó đòi hỏi người đọc không những nắm vững các kiến thức về số học, đại số, giải tích... mà còn phải có những kỹ thuật và tư duy tốt để giải một bài toán về phương trình hàm. Với bản thân em, phương trình hàm là một chuyên đề tuy khó nhưng rất thú vị, khiến em muốn tìm hiểu. Được sự đồng ý và giúp đỡ của các thầy cô bộ môn, em đã nghiên cứu và viết chuyên đề “Phương trình hàm với phép biến đổi đối số”. Đây không chỉ là những tích lũy của em sau khi tìm hiểu mà còn là một phương tiện để em có thể trao đổi, trau dồi kiến thức nhờ sự góp ý của mọi người. Sự góp ý ấy giúp cho chuyên đề hoàn thiện hơn, để việc học tập của em ngày càng tốt và hiệu quả. Trong chuyên đề này, em tập trung nghiên cứu sự tác động của biến đổi đối số trong việc giải phương trình hàm một biến. Chương I gồm một số kiến thức cơ bản nhất về ánh xạ cũng như phương trình hàm, cung cấp một số kỹ thuật giải quyết phương trình hàm cho bạn đọc. Chương II đề cập một số bài toán liên quan đến hàm tuần hoàn, phản tuần hoàn cộng tính. Chương III gồm các dạng phương trình hàm được xác định bởi các phép biến đổi tịnh tiến và đồng dạng và chương IV nghiên cứu về hàm số xác định bởi phép biến đổi phân tuyến tính. Ở mỗi chương, em đều đưa vào các ví dụ minh họa với lời giải ngắn gọn, rõ ràng; có định hướng cho mỗi bài với những chú ý, nhận xét em rút ra được khi nghiên cứu. Đặc biệt, em đã tổng quát được hầu hết các dạng toán được đề cập trong chuyên đề này. Điều đó giúp cho người đọc có cái nhìn bao quát hơn, hiểu được bản chất, có thể giải được các bài toán tương tự. Ở cuối mỗi chương, em đều đưa vào một số bài toán để bạn đọc có thể luyện tập, từ đó hiểu sâu hơn, cũng như có thể có những phát hiện mới về chuyên đề này. Trong quá trình từ lựa chọn đề tài cho chuyên đề đến thực hiện chuyên đề, em đã nhận được sự hướng dẫn, cổ vũ, động viên của cô Vũ Thị Vân và cô Lại Thu Hằng, giáo viên Toán trường THPT Chuyên Bắc Giang. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến hai cô với sự giúp đỡ to lớn cho em khi thực hiện chuyên đề này. Do trình độ và thời gian có hạn, chuyên đề không thể tránh khỏi những thiếu sót cả về mặt nội dung cũng như hình thức, rất mong nhận được sự góp ý chân thành của quý bạn đọc. Bắc Giang, tháng 03, năm 2023 Người thực hiện Nguyễn Thùy Dung 2
4. CHƯƠNG I. SƠ LƯỢC VỀ HÀM SỐ, ÁNH XẠ, PHƯƠNG TRÌNH HÀM. I.1 Một số kiến thức về hàm số và ánh xạ. I.1.1 Ánh xạ. Định nghĩa: Một ánh xạ f từ một tập hợp X vào một tập hợp Y (ký hiệu: f: X Y ) là một quy tắc cho mỗi phần tử xX tương ứng với một phần tử xác định yY , phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x . Ký hiệu y f() x nghĩa là x X,!,()  y Y y f x . Tập được gọi là tập nguồn, tập được gọi là tập đích. Ví dụ: Ánh xạ từ tập X 1;2;3;4 đến tập Y a,, b c ={a,b,c} gán mỗi phần tử tương ứng với một phần tử xác định : fa(1) ; fc(2) ; fc(3) ; fb(4) . I.1.2 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh. Định nghĩa. Ánh xạ được gọi là đơn ánh nếu x1,, x 2 X x 1 x 2 , ta có f()() x12 f x . Chú ý: Ánh xạ được gọi là đơn ánh nếu f()() x12 f x kéo theo xx12 . 3
5. Ánh xạ được gọi là toàn ánh nếu y Y,  x X sao cho f() x y . f X Y f: X Y Ánh xạ được gọi là song ánh nếu vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh. Chú ý: Ánh xạ được gọi là song ánh nếu y Y,!  x X sao cho . I.1.3 Hàm số. Định nghĩa: Cho X  và Y  . Khi đó ánh xạ được gọi là một hàm số từ tập đến tập . Chú ý. Tập gọi là tập xác định của hàm số . Tập hợp y| y f ( x ), x Xđược gọi là tập giá trị của hàm số . I.2. Một số kiến thức về phương trình hàm. I.2.1 Khái niệm phương trình hàm. - Một phương trình hàm là một phương trình trong đó các ẩn số là các hàm số chứ không phải các số đơn giản. Chẳng hạn các phương trình sau là các phương trình hàm: f( x ) f ( x 3) 2 x 5,  x ; f( x ) f ( y ) f ( x y ) 2,  x , y . 4
6. I.2.2 Một số tính chất của hàm số thường sử dụng khi giải phương trình hàm. - Tính chất đơn ánh, toàn ánh, song ánh. - Tính liên tục của hàm số. - Tính chẵn, lẻ của hàm số. - Tính đơn điệu của hàm số. - Hàm cộng tính, nhân tính... - Tính trù mật, khả vi,... của hàm số. I.2.3 Một số kỹ thuật giải phương trình hàm. Kỹ thuật 1: - Tìm các nghiệm riêng đơn giản như hàm hằng, hàm bậc nhất... - Dựa vào các nghiệm đó để hiểu hơn về hàm cần tìm, từ đó có thể có phương hướng tìm ra cách giải. Kỹ thuật 2: - Tìm các giá trị đặc biệt của fx(). VD: f (0) ; f (1) ; f ( 1) ;... - Nếu không tính được các giá trị đó ( ; ; ;...), ta có thể đặt chúng bằng tham số. Kỹ thuật 3: - Nghiên cứu các tính chất đặc biệt của hàm số: đơn ánh, toàn ánh, tính liên tục, tính đơn điệu, tính chẵn, lẻ,... Kỹ thuật 4: - Khai thác tính đối xứng trong phương trình hàm. I.2.4 Phương pháp thế giá trị đặc biệt. Ví dụ 1: Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn: fxy( ) fxy ( ) fx ( ) 2 fyxxy ( ) 2  , . (1) Hướng dẫn giải: Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn đề bài. Cho xy 0 vào (1), ta được: f (0) 0. 5
7. Cho y 0 vào (1), ta được: 2f ( x ) f ( x ) 2 f (0) x2 ,  x f(), x x2  x . Thử lại, ta được hàm số f(), x x2  x thỏa mãn đề bài. Ví dụ 2: Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn: f( x 1) x32 2 x ,  x (1). Hướng dẫn giải: Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn đề bài. Đặt tx 1 xt 1 Thay x bởi t vào (1), ta được: ft() (tt 1)32 2( 1) t32 t t 1,  t . Hay fx() x32 x x 1,  x . Thử lại, ta được hàm số , thỏa mãn bài toán. Nhận xét: Ở bài toán này, việc thế ẩn đưa phương trình hàm với biến x 1 về một phương trình hàm mới với biến t giúp ta dễ xử lí hơn. Ví dụ 3: Tìm tất cả các hàm số f : \{1} thỏa mãn: 1 f( x ) 2 f ( ) 3 x ,  x \{0} (1). x Hướng dẫn giải: Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn đềf :bài. 1 1 Đặt t (t 0) x . x t Thay x bởi t vào (1), ta được: 13 f( ) 2 f ( t ) ,  t \{0} tt 6
8. 13 Hay f( ) 2 f ( x ) ,  x \{0} . Từ đó ta có hệ: xx 1 f()2()3, x f x  x \{0} x 2 f() x x ,  x \{0}. 13 x f( ) 2 f ( x ) ,  x \{0} xx 2 Thử lại, ta được f() x x ,  x \{0} thỏa mãn bài toán. x Nhận xét: Khi trong phương trình hàm, hàm số tác động đến nhiều đối số khác nhau, ta thường đặt ẩn phụ, thế vào phương trình hàm ban đầu để tạo ra các phương trình mới; từ hệ phương trình hàm có được để tìm ra hàm số thỏa mãn. Ví dụ 4: Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn: f( x ). f ( y ) f ( x y ) ,  xy, (1). Hướng dẫn giải: Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn đề bài. Cho y 0 vào (1), ta được: f( x ). f (0) f ( x ) ,  x . f( x ). f (0) 1 0,  x . f( x ) 0,  x . f (0) 1 +) Xét f( x ) 0,  x , thử lại, ta được hàm số f( x ) 0,  x thỏa mãn đề bài. +) Xét f (0) 1. f : Cho yx vào (1), ta được: f( x )2 f (0) 1,  x . x Cho y vào (1), ta được: 2 7
9. xx f( x ). f ( ) f ( ) , . 22 x f( ). f ( x ) 1 0 , . 2 x Mà f ( ) 0 , . Do đó, fx( ) 1, . 2 Thử lại, ta được hàm số , thỏa mãn đề bài. Vậy các hàm số thỏa mãn đề bài là: f( x ) 0,  x ; , .  x 8
10. CHƯƠNG II. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM TUẦN HOÀN, PHẢN TUẦN HOÀN CỘNG TÍNH. II.1 Kiến thức cần nhớ. II.1.1 Định nghĩa. Hàm số f được gọi là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì T (T > 0) trên D (D là tập con của tập xác định hàm số ) nếu: T 0;  x D , x T D . f()() x T f x  x D Hàm số được gọi là phản tuần hoàn cộng tính chu kì T (T > 0) trên D (D là tập con của tập xác định hàm số ) nếu: T 0;  x D , x T D . f()() x T f x  x D Chú ý: Nếu hàm số là hàm phản tuần hoàn cộng tính chu kì T trên D thì hàm số là hàm tuần hoàn chu kì 2T trên D. Chứng minh: Ta có: là hàm phản tuần hoàn cộng tính chu kì T trên D. T 0;  x D , x T D f()() x T f x  x D T 0;  x D ,( x T T ) D fxTT()()() fxT fxxD  T 0;  x D ,( x 2 T ) D f( x 2 T ) f ( x )  x D Như vậy, theo định nghĩa hàm tuần hoàn cộng tính, ta được là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì 2T trên D. II.1.2 Một số tính chất. 9
11. Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T (T > 0) trên D thì  xD và  n : f()() x nT f x . T Nếu fx() tuần hoàn với chu kì T (T > 0) thì f() ax tuần hoàn với chu kì ( a 0). a Nếu hàm số không tăng hoặc không giảm trên D; đồng thời tuần hoàn trên D với chu kì T (T > 0) thì hàm số là hằng số trên D. f II.1.3 Một số hướng giải bài toán. - Đưa phương trình hàm đã cho về dạng F()() x a F x , từ đó tìm được hàm số thỏa mãn. - Chứng minh được hàm số không tăng hoặc không giảm trên D, kết hợp với tính tuần hoàn để suy ra hàm số là hàm hằng. II.2 Bài tập. Bài 1: Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn: f( x 1) f ( x ),  x (1). Hướng dẫn giải: Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn đề bài. Dễ thấy hàm số fx() tuần hoàn với chu kì T 1. Khi đó, theo tính chất của hàm tuần hoàn, ta được: f()() x n f x ,  x ,  n . Do đó: f() x f  x x f x ,  x (2). f : Đặt: g : 0;1 x g()() x f x . Từ (2), ta được: f() x g x , . 10
12. Ngược lại, nếu , , trong đó gx() là hàm số tùy ý, xác định trên 0;1 thì: f( x 1) g x 1 g x f ( x ), (thỏa mãn đề bài). Vậy hàm số thỏa mãn đề bài là: , , trong đó là hàm số tùy ý, xác định trên . Bài 2: Cho a 0, tìm tất cả các hàm số thỏa mãn: f()() x a f x ,  x (1). Hướng dẫn giải: Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn đề bài. Trong (1), cho x bởi ax , ta được: f()() ax a f ax , , (2). x Đặt g()() x f ax f() x g , , . a Khi đó: (2) g( x 1) g ( x ) , . Áp dụng kết quả bài 1, ta được g() x h x , , trong đó h là hàm số tùy ý, xác định trên . x Vậy hàm số thỏa mãn đề bài là: f() x h , , , là hàm số tùy ý, xác a định trên .  x f : Nhận xét: Hai bài toán trên là hai bài toán quan trọng, giúp chúng ta giải được tất cả các hàm tuần hoàn, phản tuần hoàn với chu kì cho trước. Bài 3: Cho , tìm tất cả các hàm số thỏa mãn: f() x g x f()()() x a f x h x , (1). Với hx()là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì a trên . 11
13. Ý tưởng: đưa phương trình (1) về dạng , . Tức là ta phải đưa phương trình (1) về 1 trong 2 dạng: fxa().()().() khxa fx khx với k . fxa( )( kxahxa ).( ) fx () kxhx .() Mà h()() x a h x , do là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì trên . Khi đó, dễ thấy phải đưa (1) về dạng: a 0 fxa( )( kxahxa ).( ) fx () kxhx .() , .  x F()() x a F x fxa( ) kxahx ( ).() fx () kxhx .() , . 1 k . a Hướng dẫn giải: Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn đề bài. Ta có: , , (1). x a x f().()().() x a h x f x h x , , . aa Do là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì trên nên , . Khi đó, ta được: x a x f().()().() x a h x a f x h x , , (2). aa x Đặt g()().() x f x h x , , . a Khi đó, phương trình (2) thành: g()() x a g x , , . f()()() x a f x h x x Dễ dàng chứng minh được g() x k , , . hx() a a 12
14. Một ý tưởng khác: Với những bài tuần hoàn cộng tính chu kì , ta thường biến đổi: 1 h()()() x h x a h x . 2 Khi đó, (1) thành: 1 f()()()() x a f x h x a h x (2). 2 a 0 Mà h()() x a h x không “đồng dạng” với f()() x a f x nên ta biến đổi:  x 1 hx() ..()a h x . a 1 .(a x x ). h ( x ) . a x a x .().()h x h x . aa x a x .().()h x a h x . aa Khi đó, (1) thành: x a x f()().().() x a f x h x a h x , , . aa , , . x a x f().()().() x a h x a f x h x aa, , với . x f : g()().() x f x h x Tổng quát bài toán:a Cho , tìm tất cả các hàm số thỏa mãn: g()() x a g x , (1). f()()() x a f x h x Với là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì b trên (với ba và b 0 ). hx() a 13
15. Ý tưởng: Đưa về bài toán fx() và đều là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì k , trong đó k a.. b m với m sao cho ma. , mb. . Chú ý: - Nếu h là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì trên thì kỹ thuật biến đổi 1 1 x a x hx() ..()a h x .(a x x ). h ( x ) .().()h x a h x a a aa rất hay được sử dụng, chúng ta nên nhớ.  x - Nếu là hàm phản tuần hoàn cộng tính chu kì , ta đưa về là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì 2a trên rồi làm tương tự bài 3. Bài 4: Cho a , tìm tất cả các hàm số thỏa mãn: , (1) Với là hàm phản tuần hoàn cộng tính chu kì b trên . Hướng dẫn giải: Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn đề bài. Ta có: là hàm phản tuần hoàn cộng tính chu kì trên . là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì 2b trên . Đặt lcm( a ;2 b ) k , ( k ). k a1 a với ab11, . k b1 2 b Theo tính chất của hàm tuần hoànf cộng: tính, ta được: fx( ) fxa ( ) fxaaa ( 11 ),  , x . hxhxbhxbbb( ) ( 2 ) ( 11 2 ),  , x f( x ) f ( x k ),  x Hay f()()() x a . f x h x h( x ) h ( x k ),  x hx() a 14
16. Khi đó, từ (1), ta được: f()()() x k f x h x , , k . x k x f().()().() x k h x f x h x , , . kk x k x f().()().() x k h x k f x h x , , . kk x Đặt g()().() x f x h x , , , ta được: k g()() x k g x ,  x , . Bài 5: Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn: f( x 1) f ( x ) 2 x , . Hướng dẫn giải: Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn đề bài. Ta có: , . f( x 1) f ( x ) 21 xx 2 , . f( x 1) f ( x ) 21 xx 2 1 (1 ) , . f( x 1) 21 (1 xx ) f ( x ) 2 1 , . g( x 1) g ( x ) , (với g( x ) f ( x ) 21 x ). Suy ra f( x ) g ( x ) 21 x , (fg: là hàm tuần hoàn chu kì 1, tùy ý trên ). Thử lại, ta được hàm số , ( là hàm tuần hoàn chu kì 1, tùy ý trên ) thỏa mãn đề bài. Chú ý: Để xuất hiện dạng g( x 1) g ( x ) , ta chú ý các đồng nhất thức sau: (a 1) ax a x 1 a x . 15
17. (a 1) a x a x 1 a x a 1 x a 1 ( x 1) . Bài 6: Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn: f x 2 f x cos x , (1). Hướng dẫn giải: Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn đề bài. Ta có: xx 2 xx 2 cosx cos x cosx x cos xx 2 cos . 22 22 Khi đó: xx 2 (1) f x 2 cos x 2 f x cos x , . 22 x Đặt g( x ) f ( x ) cos x , , ta được: 2 g( x 2 ) g ( x ) , . x Suy ra f( x ) g ( x ) cos x, , gx()là hàm tuần hoàn chu kì 2 , tùy ý trên . 2 Thử lại, ta được hàm số , ( là hàm tuần hoàn chu kì , tùy ý trên ) thỏa mãn đề bài. Bài 7: Tìm tất cả các hàm số f : **  thỏa mãn: f( m n ). f ( m n ) f m2 , m,, n * m n (1). f : Ý tưởng: Ta thấy, ở vế trái, hàm f tác động vào đối số liên quan đến 2 biến mn, . Ở vế phải, hàm tác động vào đối số chỉ liên quan đến biến m . Do đó, ta có ý tưởng đưa phương trình hàm về dạng F x a k. F x , lợi dụng tập xác định và tập giá trị của hàm để tìm ra hàm số thỏa mãn. 16
18. Hướng dẫn giải: Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn đề bài. Trong (1), cho n 1, ta được: f m 1 . f m 1 f m2 , mm *,1 (2). Trong (1), cho n 2, ta được: f m 2 . f m 2 f m2 , mm *,2 (3). Từ (2) và (3) suy ra: f m 2 . f m 2 f m 1 . f m 1 , . f m 21 f m f( m ) f (4) ... , . f m 1 f m 2 f m 3 f (1) f (4) Đặt k , k 0, ta được f m 3. k f m , m * . f (1) Trong (1), cho m 2 , n 1, ta được: f(3). f (1) f (4) f 1 . k . fk(3) k * . Trong (1), cho m 3, n 1, ta được: f(4). f (1) f (9) . k. f (1). f (2) k2 . f (3) . f(1). f (2) k 2 (do fk(3) ). Trong (1), cho m 4 , , ta được: f(5). f (3) f (16) . f(2). k25 f (1). k . f(2) f (1). k 3 . 17
19. f(1)2 . k 3 f (2). f (1) k 2 . 1 f (1)2 . k Do f (1) * , k * nên k 1. Khi đó, ta được: f m 3 f m  m * . f(1) f (2) f (3) 1 fm( ) 1, m * . Thử lại, ta được hàm số fm( ) 1, thỏa mãn đề bài. Vậy hàm số thỏa mãn là: , . Bài 8: Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn: f x.().()() f y f y f x y ,  xy,0 (1). Hướng dẫn giải: Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn đề bài. Giả sử  y0 0 sao cho fy(0 ) 1. y0 Trong (1), cho x , yy 0 , ta được: fy(0 ) 1 y0.() f y 0 y 0 f .() f y00 f y . f( y00 ) 1 f ( y ) 1 fy(0 ) 1 ( mâu thuẫn với giả sử). Do đó,  y 0, 0 fy ( ) 1. Khi đó:  xy,0, 0 f x . f ( y ) 1. f x.().()() f y f y f y ,  xy, . 18
20. f()() x y f y ,  xy, . Suy ra hàm số f là hàm không tăng trên . Ta xét các trường hợp: TH1: Nếu  y0 0 để fy(0 ) 1. Trong (1), cho yy 0 , ta được: f() x f x y0 ,  x . Hàm số f tuần hoàn cộng tính chu kì y0 trên . Mà hàm số là hàm không tăng trên . Do đó, fx() là hàm hằng trên . Khi đó, f( x ) f y0 1, . Thử lại, ta được hàm số fx( ) 1 thỏa mãn đề bài. TH2: Nếu 0 fy ( ) 1,  y . f x.().()() f y f y f y ,  xy, . Hay f()() x y f y , . Hàm số giảm thực sự trên . Đặt fa(1) ( 01 a ). Trong (1), cho y 1, ta được: f( ax ). a f ( x 1) ,  x . Ta có: f( x 1) f ( x 1 ax ax ), . fx( 1) fx ( 1 axfax ).().() fax , . Mà , . 19