Đề tài Sử dụng hàm đặc trưng

Nội dung tài liệu: Đề tài Sử dụng hàm đặc trưng

1. MỤC LỤC Phần I MỞ ĐẦU 2 Phần II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 4 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT 1. Ví dụ minh họa . ........ . .6 2. Bài tập tự luyện . .... ............21 III. MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT CÓ NGHIỆM THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 1. Ví dụ minh họa ......... .. .22 2. Bài tập tự luyện . ...... 30 Phần III KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1
2. PHẦN I: MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương pháp sử dụng hàm số đặc trưng giải các bài toán liên quan đến hàm số mũ, lôgatrit xuất hiện trong đề thi THPT QG các năm 2017, 2018, 2020 ở mức độ vận dụng cao và xuất hiện ngày càng nhiều trong đề thi của các trường, Sở giáo dục. Tuy nhiên nó thường đứng ở vị trí câu vận dụng cao, khiến cho nhiều học sinh gặp khó khăn, bỡ ngỡ khi tiếp cận dạng toán này. Chuyên đề xin giới thiệu với bạn đọc một số ví dụ sử dụng hàm đặc trưng trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm mũ, lôgarit, trong các bài toán biện luận phương trình chứa tham số. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu và giới thiệu một số biện pháp góp phần rèn luyện kỹ năng sử dụng hàm đặc trưng giải các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số mũ, lôgarit và trong các bài toán biện luận phương trình chứa tham số. III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Nghiên cứu thực trạng kỹ năng giải toán của học sinh trong khi học nội dung về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm mũ, lôgarit, trong các bài toán biện luận phương trình chứa tham số. Đồng thời đề xuất một số biện pháp góp phần rèn luyện kĩ năng giải toán về hàm số mũ, lôgarit. IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Các bài toán về sử dụng hàm đặc trưng giải các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số mũ, lôgarit và trong các bài toán biện luận phương trình chứa tham số cùng với các nội dung: đạo hàm của hàm số mũ, lôgarit. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu và phân tích tài liệu về lí luận dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên, các tài liệu liên quan đến môn học. VI. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI Đưa ra được các lý thuyết cơ bản về hàm trị tuyệt đối; các dạng bài toán cơ bản giúp ích cho việc tiếp cận lời giải các bài toán về hàm trị tuyệt đối, hệ thống các ví dụ minh họa phong phú, từ đơn giản đến phức tạp khá đầy đủ. VII. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, chuyên đề được chia làm 3 nội dung: 2
3. I. Kiến thức cơ bản II. Một số bài toán sử dụng hàm đặc trưng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhtrịliên quan đến hàm số mũ, lôgarit III. Một số bài toán sử dụng hàm đặc trưng tìm điều kiện của tham số để phương trình mũ, lôgarit có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước. 3
4. PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Hàm số mũ: y ax với a 0, a 1 . a. Tập xác định: . b. Tập giá trị: 0; . c. Đạo hàm: Với a 0, a 1 và u u x ta có: ax ' a x .ln a , ex ' e x . au ' u '. a u .ln a , eu ' u '. e u . d. Tính đơn điệu: Nếu a 1 thì hàm số y ax đồng biến trên , tức là a a  ,,   . Nếu a 1 thì hàm số y ax nghịch biến trên , tức là a a  ,,   . 2. Hàm số lôgarit: y loga x với a 0, a 1 . a. Tập xác định: D 0; . b. Tập giá trị: R c. Đạo hàm: Với a 0, a 1 và u u x ta có: 1 logx ' ,  x 0. a x.ln a 1 lnx ' ,  x 0 . x u ' logu ' ,  x sao cho u x 0 . a u.ln a u ' lnu ' ,  x sao cho u x 0 . u d. Tính đơn điệu: Nếu a 1 thì hàm số y loga x đồng biến trên 0; , tức là loga log a   ,  ,  0. Nếu a 1 thì hàm số y loga x nghịch biến trên 0; , tức là loga log a   ,  ,  0 . 3. Một vài tính chất của lôgarit: - Các tính chất: Cho a, b 0, a 1, ta có: loga b logaa 1, log a 1 0 , a b, loga ( a ) . - Lôgarit của một tích: Cho ba số dương a,, b1 b 2 với a 1, ta có loga (b1 . b 2 ) log a b 1 log a b 2 . - Lôgarit của một thương: Cho ba số dương a,, b1 b 2 với a 1, ta có b1 loga log ab1 log a b 2 . b2 4
5. 1 Đặc biệt: với a, b 0, a 1 thì log log b . ab a - Lôgarit của lũy thừa: Cho hai số dương a, b và a 1, với mọi , ta có logab log a b . 1 Đặc biệt: logn b log b với n , n 2 . an a logc b - Công thức đổi cơ số: Cho ba số dương a,, b c với a 1, c 1, ta có: loga b . logc a 1 1 Đặc biệt: log c và log b log b với 0 . a a a logc a 4. Cơ sở lý thuyết của phương pháp hàm số đặc trưng: Cho hàm số y f x liên tục trên tập D . - Nếu f x đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì u,, v D f u f v u v . - Nếu f x đồng biến trên D thì u,, v D f u f v u v . - Nếu f x nghịch biến trên D thì u,, v D f u f v u v . II. MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng để từ giả thiết suy ra mối liên hệ giữa hai biến, sau đó sử dụng phương pháp thể đưa về hàm một biến và tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm một biến đó, chủ yếu dựa vào phương pháp đạo hàm. Dạng hay gặp 2 2 logcu au bu log c v av bv , 1 trong đó a, b , c , c 0, c 1 và u, v là 2 biểu thức của biến. Phương pháp: - Tìm điều kiện D để 1 xác định. 2 - Xét hàm đặc trưng: f t logc t at bt trên D . Chứng minh f t luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D . - Khi đó 1 f u f v u v . cu au2 bu c v av 2 bv, 2 trong đó a, b , c , c 0, c 1 và u, v là 2 biểu thức của biến. Phương pháp: - Tìm điều kiện D để 2 xác định. - Xét hàm đặc trưng: f t ct at2 bt trên D . Chứng minh f t luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D . - Khi đó 2 f u f v u v . Lưu ý: 5
6. Để tìm u, v , xuất phát từ các biểu thức trong lôgarit, mũ. Nếu đề bài chỉ có 1 lôgarit, tách lôgarit đó thành hiệu 2 lôgarit khác bằng cách dùng các tính chất u log logu log v ; av a a 1 log uv log u log ; a a a v au log 1 logu log v . av a a 1. Ví dụ minh hoạ Bài 1. (TN THPT QG 2017). Xét các số thực dương x, y thỏa mãn 1 xy log 3xy x 2 y 4. 3 x 2 y Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y . 9 11 19 9 11 19 18 11 29 2 11 3 A. . B. . C. . D. . 9 9 21 3 Lời giải: Điều kiện: xy 1. Ta có 1 xy log 3xyxy 24log31 xy 31 xy log xyxy 2 2 , 1 . 3x 2 y 3 3 1 Xét hàm số f t log t t , t 0 , f' t 1 0,  t 0 . Suy ra f t đồng biến 3 t.ln 3 trên 0; . Do đó 3 2y 1 3 1 xy x 2 y x , 2 . 1 3y 3 3 2y 3 y2 y 3 Do x, y dương nên y . Và P x y y . 2 1 3y 3 y 1 3 9y2 6 y 10 Đặt P g y , y 0; . Khi đó g' y 2 . 2 3y 1 1 11 1 11 g' y 0 y (thoả mãn) hoặc y (loại). 3 3 Ta có bảng biến thiên y 0 1 11 3 3 2 g' y 0 g y 2 11 3 3 6
7. 2 11 3 11 1 11 2 Vậy P , đạt được khi y , x . min 3 3 3 Bài 2. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 2x y 1 log x 2 y . 3 x y 1 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T . x y A. 3 3. B. 4. C. 3 2 3. D. 6. Lời giải: Ta có: 2x y 1 log x 2log2 y x y 1log x y 3 x y 2 x y 11 3x y 3 3 log23 x y 12 x y 1log3 3 x y 3 x y ,*. Xét hàm số f t log3 t t trên 0; f t đồng biến trên 0; . Mà * fxy 2 1332 fxy xy 133 xyxy 21. 1 Đặt a y 0 y a2 x 1 2 y 1 2 a 2 0 0 a . Khi đó 2 1 2 T g a . 1 2a2 a 1 2 1 0; Xét hàm số g a 2 trên có 1 2a a 2 2 2a 1 2 a3 2 a 1 g a 2 . a2 2 a 2 1 3 1 Xét h a 2 a 2 a 1 trên 0; có 2 2 2 1 1 1 1 h a 6 a 2 2 3 a 1 0 a h a  0 a ;  0; . 3 3 3 2 1 Do đó h a nghịch biến trên 0; nên 2 1 h a h 0 1 0,  a 0; 2 1 1 hay phương trình h a 0 vô nghiệm trên 0; . Phương trình g a 0 a . 2 2 1 1 g 6;lim g a ; lim g a ming a g 6. a 0 1 1 2 a 0; 2 2 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 6 . Bài 3. Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn 7
8. 4a 2 b 5 log5 a 3 b 4. a b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T a2 b 2. 1 5 3 A. . B. . C. . D. 1. 2 2 2 Lời giải: Ta có: 4a 2 b 5 log5 a 3 b 4 a b log425log5 a b 5 a b a 34 b log4255 a b 425log a b 5 a b 551 a b log45 a 2 b 5 4 a 2 b 5 log5 5 a 5 b 5 a 5,1. b 1 Xét f x log x x , x 0 f x 1 0  x 0 f x đồng biến trên 0; . 5 x ln 5 Khi đó: 1 fab 425 fab 55 42555 ab abab 35 . Ta có 2 2 22 2 2 15 5 5 T a b 3 a b b 10 b 30 b 25 10 b . 10 2 2 3 a 5 2 Vậy Tmin 2 1 b . 2 Bài 4. Xét các số thực dương x; y thỏa mãn x y log x x 3 y y 3 xy . 3 x2 y 2 xy 2 3x 2 y 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P . x y 6 A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải: Ta có x y log x x 3 y y 3 xy 1 3 x2 y 2 xy 2 2 2 2 2 log3 xy log 3 xyxy 2 xxy 3 3 yxy 2 2 2 2 log3 xyxy 3 3 log 3 xyxy 2 xyxy 2 2 2 2 log3 xy 2 3 xy 3 log 3 xyxy 2 xyxy 2 2 2 2 2 log3 3xyxy 3 3 3 log 3 xyxy 2 xyxy 2, 2 . 1 Đặt f t log t , t 0 f t 1 0  t 0 f t đồng biến trên 0; , nên 3 t ln 3 8
9. 2 f 3 x 3 y f x2 y 2 xy 2 3x 3 y x2 y 2 xy 2 4x2 4 y 2 4 xy 12 x 12 t 8 0 2x y 2 6 2 x y 5 3 y 1 2 0 1 2x y 5 . 3x 2 y 1 2 x y 5 Khi đó P 1 1 (vì 2x y 5 0 và x y 6 0 ). x y 6 x y 6 2x y 5 0 x 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y 1 0 y 1. Vậy Pmax 1 đạt được khi và chỉ khi x 2, y 1. x y Bài 5. Cho các số thực x, y thỏa mãn 0 x , y 1 và log x 1 y 1 2 0 . 3 1 xy Tìm giá trị nhỏ nhất của P 2 x y . 1 A. 2 . B. 1. C. . D. 0 . 2 Lời giải: Với điều kiện biểu thức đề bài có nghĩa, ta có x y log x 1 y 120log x y log1 xy xy x y 10 31 xy 3 3 log3 x y x y log 3 1 xy 1 xy * . 1 Xét hàm số f x log t t trên 0;2 , f t ln3 1 0,  t 0;2 nên f t đồng 3 t biến trên 0;2 . Do đó từ * ta có 1 x x y 1 xy y 1 x 1 x y . 1 x 1 x 2 Khi đó P 2 x y 2 x . Đặt P g x , g' x 2 0,  x  0;1. Suy ra 1 x 1 x 2 minPP 0 1 đạt được khi x 0, y 1. Bài 6. Cho các số thực dương x,, y z thay đổi thoả mãn x 2 y 2 z log2 2 2 2 x x 4 y y 8 z z 8 2 . x y z Gọi M và m lần lưượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 y 2 z 2 4 x 7 y 11 z 8 T . 6x 5 y 86 Khi đó M m bằng: 3 5 1 A. . B. 1. C. . D. . 2 2 2 Lời giải: Ta có 9
10. x 2 y 2 z log2 2 2 2 x x 4 y y 8 z z 8 2 x y z 2 2 2 2 2 2 log2 4 xyz 2 2 log 2 xyzxyz 4( xyz 2 2 ) 2 2 2 2 2 2 log2 4 xyz 2 2 4( xyz 2 2 ) log 2 xyzxyz (1). 1 Xét hàm đặc trưng f t log t t ,  t 0 có f t t 0,  t 0 . Do đó 2 t ln 2 (1) fxyz 4 2 2 fxyz 2 2 2 xyz 2 2 2 4 xyz 8 8 x 2 2 y 4 2 z 4 2 36 . Thay vào biểu thức , ta được 4x 8 y 8 z 4 x 7 y 11 z 8 y 3 z 8 T 6x 5 y 86 6 x 5 y 86 Txy 6586 yz 386 TxTyz 51 3886 T . 6T x 2 51 T y 43 z 488612 T T 45112 T 6T x 2 5 T 1 y 4 3 z 4 54 T . Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 6T x 2 5 T 1 y 4 3 z 4 6T 2 5T 1 2 32 . 36 54T 2 36 6TT 2 5 1 2 32 720TT2 360 360 0 1 1 T . 2 1 1 Suy ra M , m 1 M m . 2 2 Bài 7. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log2x x x y log 2 6 y 6 x . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x3 3 y là A. 16. B. 18. C. 12 . D. 20 . Lời giải: Điều kiện: x 0,0 y 6 . Ta có log2x x x y log 2 6 y 6 x 2 log2x x log 2 6 y 6 x xy 2 log2x log 2 x x log6 2 y log 2 x 6 x xy 2 2 log2 x x log 2 x 6 y x 6 y , * . 1 Xét hàm số f t log t t trên 0; , f t 1 0,  t 0; nên f t 2 t.ln 2 đồng biến trên 0; . Khi đó 10
11. * f x2 f x 6 y x2 x 6 y x 6 y y 6 x . Khi đó T x3 3 6 x x3 3 x 18 g x . Xét hàm số g x x3 3 x 18 trên 0; . Ta có 2 x 1 0 g x 3 x 3 ; g x 0 x 1 0. Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra T g x g 1 16 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 1, y 5 . Bài 8. Xét các số thực dương a, b thoả mãn 1 ab log 2ab a b 3 . 2 a b Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P a b . A. Pmin 1 2 5 . B. Pmin 2 5 . C. Pmin 1 5 . D. Pmin 1 2 5 . Lời giải: Điều kiện 1 ab 0 ab 1. Ta có 1 ab log 2ab a b 3 2 a b log2 1 ab log 2 a b a b 2 1 ab 1 log2 1 ab 1 2 1 ab log 2 a b a b log212 ab 21 ab log 2 a b a b ,1 . 1 Xét hàm số f t log t t , t 0 có f t 1 0,  t 0 nên f t đồng biến 2 t.ln 2 trên 0; . Ta có 2 a 1 f 2 1 ab f a b 2 1 ab a b 2 a b 2 a 1 b . 2a 1 2 a Do a, b 0 nên 0 0 a 2. Khi đó 2a 1 2 a 2 a2 2 P a b a . 2a 1 2 a 1 11
12. 2a2 2 4a2 4 a 4 1 5 Xét hàm g a , g a , g a 0 a . 2a 1 2a 1 2 2 Ta có bảng biến thiên a 0 1 5 2 2 g' a 0 0 2 2 g a 5 1 Vậy Pmin 1 5 . Bài 9. Cho các số thực x, y thỏa mãn 2 x log2 log 2 y 2 x 2 y xy 5 . 2 x Hỏi giá trị nhỏ nhất của P x2 y 2 xy là bao nhiêu? A. 30 20 2 . B. 33 22 2 . C. 24 16 2 . D. 36 24 2 . 2 x 0 2 x 2 Lời giải: Điều kiện xác định: 2 x y 0. y 0 Theo bài ra ta có: 2 x log2 log 2 y 2 x 2 y xy 5 2 x log(22 x ) log( 2 x 2) log 2 y 2( x 2) y ( x 2)1 log(42 2)x (4 2) x log 2  y ( x 2) y ( x 2). 1 Xét hàm số f( t ) log t t , t 0, f'( t ) 1 0  t 0 . Suy ra f() t đồng biến trên 2 t.ln 2 4 2x (0; ) . Mà f(4 2 x ) f y ( x 2) nên 4 2x y ( x 2) y . x 2 3 Vì P x2 y 2 xy () x y 2 nên thay vào P ta có: 4 2 2 3 4 2x 3 x2 4 P x . 4 x 2 4 x 2 x2 4 Xét hàm số g x trên khoảng ( 2;2) . Khi đó x 2 2x ( x 2) ( x2 4) x 2 4 x 4 g'. x (x 2)2 ( x 2) 2 x 2 2 2 g' x 0 x2 4 x 4 0 x 2 2 2 ( l ). 12
13. Lập bảng biến thiên: x 2 2 2 2 2 g' x 0 g x 2 4 2 4 Dựa vào bảng biến thiên, ta có ymin 4 2 4 khi x y 2 2 2 3 2 Vậy P 4 2 4 36 24 2 . min 4 Bài 10. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn 2 2 2 2 1 2 2 x y 4 log2 xy 4 . x y 2 x Khi x 4 y đạt giá trị nhỏ nhất, bằng y 1 1 A. 2 . B. 4 . C. . D. . 2 4 Lời giải: Ta có: 2 2 2 2 1 2 2 x y 4 log2 xy 4 x y 2 21 2 2 x y 4 xy 8 1 log x y log xy xy 4 xy 8 2 2 2 2 2 xy xy 2 x y log2 x y 2 log 2 , 1 . 2 2 2 Xét hàm số f t 2 t log 2 t với t 0; . Khi đó 1 f t 4 t 0,  t 0. t.ln 2 Suy ra f t đồng biến trên 0; . Lúc đó 1 có dạng: xy 2 y fxyf 2 xyxyxy ( 2) 2 yx ; y 2 . 2 y 2 Suy ra 2y 4 4 P x4 y 4 y 10 4 y 2 10 2 4 y 2 . 18 . y 2 y 2 y 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4 2y x 4 y 2 y 2 1 y 3 x 6 2 . y 2 y 2 y x Vậy 2 . y 13
14. Bài 11. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 3x 3 y 4 log x y 1 2 x 2 y 1 4 xy 1 . 2 x2 y 2 5x 3 y 2 Giá trị lớn nhất của biểu thức P . 2x y 1 A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Lời giải: Ta có: 3x 3 y 4 log x y 1 2 x 2 y 1 4 xy 1 2 x2 y 2 3x 3 y 4 log 2x2 2 y 2 3 x 3 y 3 2 x2 y 2 2 2 3x 3 y 4 22x 2 y 2 2 3x 3 y 3 x y 2 2 2 3x 3 y 4 .23x 3 y 3 x 2 y 2 .2 2 x 2 y 2 2 2. 3x 3 y 4 .23x 3 y 3 2. x 2 y 2 .2 2 x 2 y 2 2 3x 3 y 4 .23x 3 y 4 2 x 2 2 y 2 .2 2 x 2 y , 1 . Đặt f t t.2t t 0 . Suy ra f t 2t t .2.ln2 t 0,  t 0 . Do đó hàm số f t đồng biến trên 0; . Lúc đó 1 có dạng: f 3 x 3 y 4 f 2 x2 2 y 2 3x 3 y 4 2 x2 2 y 2 x2 2 xy y 2 3 x y 4 x 2 2 xy y 2 x y2 3 x y 4 x y 2 x y 2 3 x y 4 0 1 x y 4 x y 4 0. Khi đó: 5x 3 y 2 x y 4 P 2 2 0 2 . 2x y 1 2 x y 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y 4 2 2 3x 3 y 4 2 x 2 y x y 2 . x y 0 Vậy P đạt giá trị lớn nhất là 2 . Bài 12. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x 4 y log 2x y 1. 3 x y 14
15. 3x4 y 2 xy 2 y 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . x() x y 2 1 1 3 A. . B. . C. . D. 2. 4 2 2 Lời giải: Ta có x 4 y log 2x y 1 log( x 4)( y x 4)log3( y x y )3( x y ),1 . 3x y 3 3 Xét hàm số f( t ) log3 t t trên (0; ) . Ta có 1 f'( t ) 1 0,  t 0 . t ln3 Suy ra f() t đồng biến trên khoảng (0; ) . Từ (1) suy ra fxyfxy( 4 ) (3( )) xy 4 3( xy ) yx 2 . Do đó 4 2 5 2 3x y 22 xy y 6121 x x 2 121 2 66 P 2 3 6 x 6 x 2. x( x y ) 9 x 9 x 9 x x Dấu "" xảy ra x 1. Vậy Pmin 2. Bài 13. Xét các số thực x; y với x 0 thỏa mãn 1 2018x 3 y 2018 xy 1 x 1 2018 xy 1 y x 3 . 2018x 3 y Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x 2 y . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. m 1;0 . B. m 0;1 . C. m 2;3 . D. m 1;2 . Lời giải: Đẳng thức đã cho tương đương với 1 1 2018x 3 y x 3 y 2018 xy 1 xy 1, * . 2018x 3 y 2018 xy 1 Xét hàm số f t 2018t 2018 t t trên R, f t 2018.ln2018t 2018 t .ln2018 1 0 f t là hàm số đồng biến trên . Do đó x 1 (*) fxyfxy 3 1 xyxy 3 1 x 1 xyy 3 . x 3 Khi đó 2x 2 x2 x 2 T x 2 y x . x 3 x 3 x2 x 2 x2 6 x 5 Xét hàm số g x trên khoảng 0; có g x 0  x 0 . x 3 x 3 2 2 Do đó g x là hàm đồng biến trên 0; m min g x g 0 1;0 . 0; 3 Bài 14. Cho 0 x ; y 1 thỏa mãn 20181 x x 2 2019 . 2018y y2 2 y 2020 15
16. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4 x2 3 y 4 y 2 3 x 25 xy . Tính M m . 391 383 136 25 A. . B. . C. . D. . 16 16 3 2 Lời giải: Đẳng thức đã cho tương đương với 20181 xx 2 2019 2018 1 y x 2 2019 2018y y 1 2 2019 2018 x y 1 2 2019 2018x x2 2019 2018 1 y 1 y 2 2019 1 Xét hàm số f t 2018t t2 2019 , t  0;1 có f t 2018t ln 2018. t2 2019 2 t .2018 t 2018t t2 ln 2018 2 t 2019ln 2018 0  t  0;1. Suy ra f t đồng biến trên đoạn [0;1]. Phương trình (1) trở thành: f x f 1 y x 1 y x y 1 . Ta có: P 4 x2 3 yy 4 2 3 x 25 xy 16 xy 2 2 12 x 3 12 y 3 9 xy 25 xy 16x2 y 2 12 x y 3 3 xy x y 34 xy 16x2 y 2 12 36 xy 34 xy 16 x 2 yx 2 xy 12. 1 1 Với x, y 0;1 ; x y 1 thì 0 xy . Đặt xy z, z 0; , ta có: 4 4 1 P g z 16 z2 2 z 12, g z 32 z 2 0 z . 16 1 191 1 25 25 191 391 Mà g 0 12; g ; g M , m M m . 16 16 4 2 2 16 16 Bài 15. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x y ln 2 2 .5ln x y 2ln5 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P ( x 1)ln x ( y 1)ln y . A. Pmax 10 . B. Pmax 0 . C. Pmax 1 . D. Pmax ln 2 . Lời giải: Đẳng thức đã cho tương đương với 2ln(x y ) ln 2 .5 ln( x y ) 2 ln5 2 ln( x y ) .5 ln( x y ) 2 ln5 .2 ln2 10ln(x y ) 2 ln10 ln(x y ) log 2ln10 ln(x y ) ln10.log 2 eln(x y ) e ln10.log2 16
17. x y 10log2 x y 2 . Do đó P x 1 ln x 3 x ln 2 x . Xét hàm số f() x ( x 1)ln x (3 x )ln(2 x ) có x 1 3 x x 2 2 x f ()ln x x ln(2 x ) ln . x2 x 2 x x (2 x ) 1 2 x 2 x2 4 x 4 f x 2. 2 0,  x 0;2 . 2 x x 2x x2 Do đó f x 0 có nhiều nhất một nghiệm trên 0;2 . Mà x 1 là một nghiệm của phương trình f x 0 nên phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất là x 1 . Do đó maxf x f 1 0. Bài 16. Cho các số thực x, y thuộc đoạn 0;1 thỏa mãn x2 2021 20201 x y . y2 2 y 2022 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 x3 6 y 3 3 x 2 9 xy . Tính M. m . 5 A. . B. 5. C. 5. D. 3. 2 Lời giải: Đẳng thức đã cho tương đương với 20201 x y y 2 2 y 2022 x 2 2021 20201 y 1 y2 2021 2020 x x 2 2021 . t 2 t2 t Xét f t 2020 t 2021 với t 0;1 thì f t 2020.ln2020. t 2021 2.2020. t 0 Do vậy f t đồng biến trên 0;1. Suy ra f 1 y f x x 1 y y 1 x . Do vậy 3 3 2 2x 6 y 3 x 9 xy 3 2x3 6 1 x 3 x 2 9 x 1 x 2x3 6 18 x 18 x 2 6 x 3 3 x 2 9 x 9 x 2 4x3 30 x 2 27 x 6 . Xét f x 4 x3 30 x 2 27 x 6 với x 0;1 . Khi đó 1 x 2 2 f x 12 x 60 x 27 0 . 9 x ( l ). 2 1 1 1 Mặt khác f 0 6, f 1 5, f . Do vậy M 6 và m suy ra M. m 3 . 2 2 2 Bài 17. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 17
18. 3 5xy 5x 2 y x 1 3 x 2 y y x 2 . 3xy 5 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x y. A. Tmin 2 3 2. B. Tmin 3 2 3. C. Tmin 1 5. D. Tmin 5 3 2. Lời giải: Đẳng thức đã cho tương đương với 1 1 5x 2 y x 2 y 5 xy 1 xy 1, * . 3x 2 y 3 xy 1 1 Xét hàm số f t 5t t có f t 5ln5t 3 t .ln3 1 0;  t . 3t f t là hàm số đồng biến trên , mà 2y 1 f x 2 y f xy 1 x 2 y xy 1 x y 1 2 y 1 x y 1 y2 y 1 với x 0 y 1. Khi đó T x y . y 1 y2 y 1 Xét f y T trên 1; , có y 1 y2 2 y 2 f y 0 y 1 3 . y 1 2 Ta có f 1 3 3 2 3 và limf y lim f y . Do đó T 3 2 3. y 1 y Vậy Tmin 3 2 3. Bài 18. Gọi S là tập hợp các số thực x; y sao cho x  1;1 và thỏa mãn điều kiện ln x y x 2017 x ln x y y 2017 y e2018 . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức P e2018x y 1 2018 x 2 với x; y S đạt được tại x0; y 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. x0 1;0 . B. x0 1. C. x0 1. D. x0 0;1 . Lời giải: Đẳng thức đã cho tương đương e2018 x y ln x y 2017 x y e2018 ln x y 2017 0 . x y e20181 e 2018 Xét hàm số f t ln t 2017 f t 0  t 0 t t t 2 f t là hàm số đồng biến trên 0; . Mà f e2018 0 t x y e 2018 . Khi đó P e2018x 1 x e 2018 2018 x 2 . Đặt P g x , g x e2018 x 2019 2018 x 2018 e 2018 4036 x g 0  x  1;1. Nên g x là hàm nghịch biến trên  1;1, mà g 1 e 2018 2018 0 và g 0 2019 2018 e2018 0. 18
19. nên tồn tại x0 1;0 sao cho g x0 0. Vậy max g x g x0 hay giá trị lớn nhất  1;1 của P đạt được khi x0 1;0 . Bài 19. Xét các số thực a,, b x thoả mãn a 1, b 1,0 x 1 và 2 alogbx b log a x . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P ln2 a ln 2 b ln( ab ). 1 3 3 e 1 3 2 2 A. . B. . C. . D. . 4 2 4 12 Lời giải: Đẳng thức đã cho tương đương với 2 ln alogbx ln b log a ( x ) logbx .ln a 2.log a x .ln b ln a .lna 2ln b ln b 2 2 lna 2 ln b lna 2 ln b logb a .ln a 2ln b (vì a 1, b 1). Thay lna 2 ln b vào biểu thức P ta được P ln2 a ln 2 b ln( ab ) 3ln 2 b 2 1 ln b 3 t 2 2 1 t (với t ln b 0 ). 2 1 Đặt f( t ) 3 t2 2 1 t . Ta có f'()6 t t 210 t (0;) . 6 Ta có bảng biến thiên t 0 2 1 6 f' t 0 0 f t 3 2 2 12 3 2 2 3 2 2 Dựa vào BBT, suy ra minf ( t ) . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng . 0; 12 12 Bài 20. Cho x, y là các số thực lớn hơn 1 sao cho ey e x yx e x x y e y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P logx xy log y x. 2 1 2 2 1 2 A. B. 2 2 C. D. 2 2 2 Lời giải: Ta có: 19
20. y x y x x xe y y e x x e y y e y e x e ln y e ln x e xln y xey y ln x ye x x y (*). lnx ex ln y e y 1 (vì y ex ln x có y' ex 0;  x 1 nên y y 1 e 0 ). x t lnt et 1 te t Xét hàm số: f t t trên 1; ta có f' t 2 . Với hàm số ln t e ln t et 1 g t ln t et 1 te t có g' t ln t et 1 te t ' te t 0,  t 1 t Nên g t g 1 1 f ' t 0;  t 1 y f t là hàm nghịch biến trên 1; . Khi đó trở thành f x f y y x 1. Vậy 1 1 1 1 1 1 1 2 2 P logx xy log y x log x y 2 log x y . . 2 2 logxy 2 2 log x y 2 Dấu “=” xảy ra khi 1 1 2 2 logxy log x y 2 y x . 2 logx y 1 2 2 Vậy P . min 2 Bài 21. Cho x; y là hai số thực dương thỏa mãn x y và y x x1 y 1 2 x 2 y . 2 2 x2 3 y 2 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng xy y 2 13 9 A. . B. . C. 2 . D. 6 . 2 2 Lời giải: Ta có y x x1 y 1 xy y x 2 x 2 y 4 1 4 1 2 2 yln 4x 1 x ln 4 y 1 ln 4x 1 ln 4 y 1 (vì x, y 0 ). x y ln 4t 1 Xét hàm số f t trên khoảng 0; . Ta có t 20