Một số gợi ý để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong chương trình hình học lớp 11

Nội dung tài liệu: Một số gợi ý để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong chương trình hình học lớp 11

1. CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc THUYẾT MINH MÔ TẢ GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN 1. Tên giải pháp: “Một số gợi ý để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong chương trình hình học lớp 11”. 2. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Từ 10/09/2024 đến ngày 10/03/2025. 3. Các thông tin cần bảo mật (nếu có): Không. 4. Mô tả các giải pháp cũ thường làm +) Giải pháp cũ tôi thường làm khi dạy học sinh bài , chỉ đưa ra các dạng toán và bài tập, chứ chưa đi sâu vào việc hướng dẫn học sinh cách xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng, cách chuyển việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, sau đó giáo viên làm mẫu 1, 2 ví dụ rồi giao bài tập và chữa những bài mà học sinh thắc mắc. +) Nhược điểm: Chưa có sự phân dạng chi tiết và định hướng rõ ràng, khi gặp các bài toán về tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thì học sinh lúng túng chưa rõ cách làm, không tự tin. +) Hạn chế: Chưa có sự đầu tư sâu về bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau nên gặp phần này học sinh sẽ gặp nhiều khó khăn. 5. Sự cần thiết phải áp dụng giải pháp sáng kiến Với gần 20 năm giảng dạy, tôi đều có dạy lớp 11, lớp 12 và có tham gia ôn thi tốt nghiệp, Đại học- Cao đẳng, THPT Quốc gia trong đó có mảng kiến thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau đó cũng là mảng kiến thức trọng tâm để giải quyết các bài toán liên quan đến khoảng cách trong chương trình hình học 11, bài toán tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ. Mặc dù đã rất cố gắng truyền thụ
2. cho các em kiến thức về tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau qua các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập và một số tài liệu tham khảo đã viết; nhưng chúng tôi nhận thấy khi cho các em làm một số bài tập về tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong các đề thi tốt nghiệp, đề thi tuyển sinh Đại học, đề thi đánh giá năng lực, đánh giá tư duy vẫn còn một số lượng lớn các em gặp khó khăn. 6. Mục đích của giải pháp sáng kiến +) Giúp học sinh dễ dàng nhận biết và giải quyết các bài toán về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau một cách nhanh gọn, tốn ít thời gian. +) Giải pháp nhằm khuyến khích tinh thần tự học của học sinh, học sinh có hứng thú trong học tập, tự giác hoàn thành tốt nhiệm vụ được giao. Từ đó học sinh có thể phát triển năng lực tư duy lôgic và sáng tạo, giúp các em thấy yêu thích môn Toán hơn, nhất là bài toán về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau . +) Biên soạn được hệ thống các dạng toán, câu hỏi trắc nghiệm khách quan của bài tìm câu khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau vận dụng - vận dụng cao đặc biệt là giành cho học sinh lớp ôn theo khối, ôn thi đánh giá năng lục và đánh giá tư duy. 7. Nội dung: 7.1. Nội dung các giải pháp của sáng kiến. Một số phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 7.1.1. Phương pháp 1: Phương pháp trực tiếp. Phương pháp: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn vuông góc chung Ta xét các trường hợp sau đây: 7.1.1.1. Trường hợp 1: a và b là hai đường thẳng chéo nhau và ab . - Ta dựng mặt phẳng chứa a và vuông góc với b tại N .
3. - Trong mặt phẳng dựng NM a tại M . - Ta được d a, b MN . - Tính độ dài đoạn thẳng MN . Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCcó đáy là tam giác vuông tại A , SA 2, a AB a ; SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AC và SB . Lời giải Nhận xét : Ta có AC SA, AC AB suy ra AC SAB AC  SB . Bước 1 : Chỉ ra mặt phẳng chứa đường thẳng SB và vuông góc với AC . Mặt phẳng SAB chứa đường thẳng và vuông góc với Bước 2 : Dựng đoạn vuông góc chung của và . Trong tam giác SAB dựng AH SB. Vì AC SAB nên AC AH . Do đó AH là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AC và SB hay d AC, SB AH . Xét trong tam giác vuông ABS (vuông tại A ) ta có: 1 1 1 1 1 5 AH2 SA 2 AB 244 a 2 a 2 a 2
4. 25a 25a AH .Vậy d AC, SB . 5 5 Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh 2a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABC , SA 3 a . Gọi M là trung điểm cạnh AC . Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BM và SC . Nhận xét: Do tam giác ABCS. ABC đều nên BM AC ; mặt khác BM SA nên BM SAC BM  SC . SB Lời giải Bước 1: Chỉ ra mặt phẳng chưa đường thẳng và vuông góc với BM . Ta có mp SAC chứa SC và vuông góc với đường thẳng . Bước 2: Dựng đoạn vuông góc chung của đường thẳng VÀ Trong tam giác SAC dựng MH SC . Vì BM SAC nên BM MH . Do đó MH là đoạn vuông góc chung của và hay d BM, SC MH . Ta có: SC SA22 AC a 13 ; SA SC SA. MC 3 a . a 3 a 13 ACS đồng dạng với HCM nên MH MH MC SC a 13 13 3a 13 Vậy d BM, SC . 13 Ví dụ 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA () ABCD , tạo với đáy một góc 450 . Dựng và tính khoảng cách giữa AB và SD . Nhận xét : AB() SAD AB  SD Bước 1: Chỉ ra mặt phẳng chứa và vuông góc với AB .
5. Mặt phẳng SAD chứa đường thẳng và vuông góc với đường thẳng . Bước 2: Dựng đoạn vuông góc chung của và . Kẻ AH () SD d(,) AB SD AH S H D A B C +) Tính AH Có SA AB.tan 450 2 a Xét tam giác vuông SAD có là đường cao 1 1 1 AH a 2 AH2 SA 2 AD 2 Vậy d( AB , SD ) a 2 . Nhận xét: Thông qua 3 ví dụ học sinh có thể hiểu, ghi nhớ cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Qua quá trình giảng dạy chúng tôi nhận thấy, để học sinh thành thạo hơn GV có thể cho học sinh luyện tập thêm bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong một số hình cơ bản như hình chóp đều, hình lăng trụ, hình lập phương Ví dụ 4: Cho hình chóp đều , O là tâm đáy, SO 2 a, khoảng cách từ điểm 25a đến mặt phẳng SCD bằng . Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung 5 của hai đường thẳng SO và CD . Lời giải S. ABCD SD AB
6. S H D A O I B C Giả thiết có SO ABCD SO  CD M Trong mp ABCD kẻ OI DC do đó d SO, CD OI . Ta có CD () SOI suy ra ()()SCD SOI theo giao tuyến là SI . Trong mp SOI kẻ OH SI d O, SCD OH . Xét tam giác vuông SOI có OH là đường cao 1 1 1 Suy ra OI a . Vậy d SO, CD a . OH2 SO 2 OI 2 Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD. A B C D có cạnh bằng a . Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BD và AC . Lời giải A D B C A D AC B C Gọi O , O lần lượt tâm của hai đáy. Ta có: OO là đoạn vuông góc chung của BD và .Do đó d BD, A C OO a . Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A B C , tam giác ABC vuông cân tại B , 1 AC 2 a , CC 2 a , là trung điểm của , điểm thỏa mãn CN NC . Dựng 3 và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng MN và CB . Lời giải N
7. B C A M J I N H D B' M C' A' M' Dựng đoạn vuông góc chung Vì ABC. A B C là hình lăng trụ đứng nên ACC A là hình chữ nhật. Lại có AC CC 2 a suy ra là hình vuông. Gọi D , M lần lượt là trung điểm của CC , AC . Dễ chứng minh được: CM  AD . (1) 1 Từ giả thiết CN NC N là trung điểm của CD . (2) 3 Lại có, là trung điểm của . (3) Từ (2) và (3) MN là đường trung bình của tam giác ACD MN// AD . (4) Từ (1) và (4) MN CM (5) Vì ABC vuông cân, có là trung điểm của nên BMAC  B M ACC A B M MN (6) Gọi I  MN CM . Kẻ IJ CB ( J CB ). Từ (5) và (6) MN B M C MN IJ d MN, CB IJ . Tính IJ Vì B M  ACC A nên BMMC  CM B vuông tại M . IJ CI CI Dễ thấyAC CJI” CM B (g-g) IJ. B M . B M CB CB Ta có CI là đường cao của tam giác vuông MCN
8. 1 1 1 1 1 5 a 2 2 2 2 2 2 CI . CI CM CN a a a 5 2 ABC vuông cân tại B , AC 2 a BC a 2 . Trong tam giác vuông BB C , có: 2 CB 2 BC 2 BB 2 a2 2 a 2 6 a2 CB a 6 . 1 ABC vuông tại B , BM là trung tuyến nên B M A C a . 2 a aa30 a 30 IJ 5 . a .Vậy d MN, CB . a 6 30 30 30 Nhận xét: Từ ví dụ 1 đến 6 là các ví dụ về các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Đây là các bài toán tính khoảng cách cơ bản mà học sinh thường gặp trong các kỳ thi TNTHPT và thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Với trường hợp hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau, việc dựng đoạn vuông của hai đường thẳng chéo nhau cũng đơn giản hơn so với trường hợp hai đường thẳng không vuông góc với nhau. Qua quá trình giảng dạy chúng tôi nhận thấy rằng nếu học sinh được hướng dẫn một cách chi tiết, rõ ràng, hệ thống ví dụ bám sát nội dung học, thi thì đại đa số học sinh sau khi học xong đều có thể giải được các bài tập này , tất nhiên đối với mức độ vận dụng cao thì phải có yêu cầu cao hơn. 7.1.1.2. Trường hợp 2: và b là hai đường thẳng chéo nhau và không vuông góc với nhau. a
9. - Dựng mặt phẳng chứa và song song với b . - Lấy một điểm M tùy ý trên b dựng MM  tại . - Từ dựng bb cắt tại A . Từ A dựng AB MM cắt tại . Ta có d a, b AB . - Tính độ dài đoạn thẳng . Nhận xét: Đối với trường hợp hai đường thẳng không vuông góc với nhau, chúng tôi nhận thấy khi giảng dạy nội dung này nhiều học sinh tỏ ra lúng túng, không dựng được đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Qua giảng dạy chúng tôi thấy đối Mvới học sinh lớp 11 trước hết nên ghi nhớ , hiểu rõ từng bước trong cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Từ đó từng bước vận dụng vào giải bài tập. CD SC Với những ví dụ minh họa chúng tôi hướng dẫn học sinh một cách chi tiết, rõ ràng theo từng bước thông qua hình vẽ, mô hình để học sinh hiểu bài, ghi nhớ bài, từ đó tăng hứng thú học tập, không còn e dè với các bài tập hình đặc biệt là các bài tập hình học không gian nói chung, bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau nói riêng. Ví dụ 7: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a. SA ABCD , SA a 2 . Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a. và b. và b B Lời giải AB a.Ta có SB a BC AB;1 BC  SA BC  SAB BC  SB BC CD 2 a
10. Từ 1 ; 2 suy ra d SB, CD BC a b. Bước 1: Chỉ ra mặt phẳng chứa cạnh và song song với cạnh . Ta có mặt phẳng SDC chứa cạnh và song song với cạnh Bước 2: Dựng hình chiếu vuông goc của đường thẳng trên mặt phẳng SDC CD AD; CD  SA CD  SAD SDC  SAD Từ kẻ AK SD . Suy ra AK SDC 1 A CD SC Từ K kẻ đường thẳng NK song song , N SC . Suy ra NK là hình chiếu của đường thẳng AB trên mặt phẳng SDC . Bước 3: Dựng đoạn vuông góc chung của và SC . Trong mặt phẳng BAKN Kẻ đường thẳng NM∥ AK 2 , M AB . Khi đó từ 1 , 2 NM SC; NM AB . a 6 Suy ra d AB,. SC MN AK 3 Ví dụ 8: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang vuông tại AD, . SA vuông góc mặt phẳng đáy, AB 2 a , AD DC CB a . SA 3 a (minh họa hình dưới đây). AB
11. M M M Gọi là trung điểm của AB . Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng và DM Lời giải A K NK Bước 1: Chỉ ra mặt phẳng chứa và . Mặt phẳng SBC chứa cạnh và song song với . Bước 2: Dựng hình chiếu vuông của đường thẳng lên mặt phẳng SBC . 1 Ta có là trung điểm của AB . Tứ giác ADCM là hình vuông nên CM a AB . 2 SB Suy ra ACB vuông tại C ; BC SAC ; SBC SAC . Kẻ AH SC tại H. Khi đó H là hình chiếu của trên mặt phẳng SBC . Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng SBC là trung điểm của BH . Trong mặt phẳng SBC kẻ đường thẳng đi qua và song song với đường thẳng SB BC cắt đường thẳng tại . là hình chiếu vuông góc của DM lên mặt phẳng SBC N
12. Bước 3: Dựng đoạn vuông góc chung của DM và .Trong mặt phẳng NKMD kẻ đường thẳng KI song song với NM, I DM 1 Khi đó KI là đoạn vuông góc chung của SB, DM và KI MN AH 2 2 2 AC2.9 SA 2 aa3 . 3 a 2 3 2 AH a AH 2 2 2 . AC SA aa33 2 4 2 13a Vậy d DM, SB AH . 24 Nhận xét: Hai ví dụ 1,2 là bài toán dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nên học sinh bắt buộc phải dựng được đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Nếu bài toán chỉ là tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thì có thể giải bài toán theo cách giải khác ngắn gọn hơn. 7.1.2. Phương pháp 2: Phương pháp gián tiếp. Phương pháp chung : Chuyển bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Nhận xét: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau không nhất thiết ta phải đi dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng mà có thể đưa bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Đây là phương pháp được sử dụng phổ biến trong bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SB + Để dựng hình chiếu của M trên mặt phẳng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Qua dựng mặt phẳng   . Bước 2: Tìm giao tuyến a của mặt phẳng và mặt phẳng  . Bước 3: Trong mặt phẳng  kẻ MH a . Suy ra MH  .
13. + Phương pháp trực tiếp: Trong một số bài toán không quá phức tạp, để tính khoảng cách từ điểm đến phẳng ta có thể dựng luôn được hình chiếu của điểm trên mặt phẳng + Phương pháp gián tiếp Khi việc dựng MH  gặp khó khăn nhưng đã biết trước hay tính được khoảng cách từ điểm nào đó đến mặt phẳng . Ta dịch chuyển việc tính khoảng cách M từ điểm đến mặt phẳng về tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . Tức ta tìm số thực k sao cho d M,, kd N . Để sử dụng phương pháp trên ta thường sử dụng các kết quả sau: + Nếu MN ∥ thì d M,, d N . ( ta có thể gọi nó là kỹ thuật dời điểm song song) + Nếu MN,  và  ∥ thì d M,, d N . M dM , IM + Nếu MN I thì . dN , IN N
14. Chú ý: Muốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp gián tiếp thì ta có thể làm như sau : M Bước 1: Quan sát với giả thiết bài toán, khoảng cách từ điểm nào đến mặt phẳng là ta có thể tính được ngay. Giả sử ta có thể tính được dA , . Bước 2: Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta tính khoảng cách A từ đến mặt phẳng . Ở bước 2 đế chuyển bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng về điểm đến mặt phẳng ta làm như sau + Kẻ đường thẳng MA Trường hợp 1: Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì d M,, d A Trường hợp 2: Giả sử MA I . IM IM + Tính tỉ số . Từ đó suy ra d M,., d A IA IA Nếu việc xác định giao điểmM I hoặc tính tỉ số gặp khó khăn hoặc phải dựng thêm nhiều đường , ta có thể thực hiện dời điểm 2,3 lần liên tiếp thì sẽ giải quyết được bài toán.
15. 7.1.2.1. Cách 1: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách sử dụng tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng. - Dựng mặt phẳng chứa và song song với . M - Ta có d a,,, b d b d M , với là điểm tùy ý thuộc đường thẳng . Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a , BC 2 a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD , . Lời giải S M D A O B C SC Gọi O là tâm hình chữ nhật và M là trung điểm , ta có: SC// BMD . Do đó d SC, BD d SC, BMD d S, BMD d A, BMD h Ta có: AM,, AB AD đôi một vuông góc nên 1 1 1 1 4 1 1 h2 AM 2 AB 2 AD 2 a 2 a 24 a 2 2a 21 Suy ra: h . 21 b Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. SA 4, SB 3, ASB 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SDa và BC .
16. S K A D H B C Ta có: BC∥∥ AD BC( SAD ) d (,)(,( BC SD d BC SAD )) d B , SAD Hạ SH AB,() H AB SH  ABCD Kẻ HK SA( K SA ) HK  ( SAD ) d ( H ,( SAD )) HK d B, SAD BA BA d B,., SAD d H SAD Mặt khác: d H, SAD HA HA 22  Có: BA SA SB 2 SA . SB . cos 60 13. SA. SB .sin 60 6 39 10 13 BA 13 SH HA SA22 SH . AB13 13 HA 10 1 1 1SH . HA 15 3 Trong tam giác vuông SHA ta có: HK . 2 2 2 HK SH HA SH22 HA 13 15 3 d( H ,( SAD )) . 13 13 13 15 3 3 3 d(,( B SAD )) .(,( d H SAD )) . . 10 10 13 2 Ví dụ 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang, vuông góc mặt phẳng SA đáy, AB 2 a , AD DC CB a . vuông góc với đáy và SA 3 a (minh họa hình dưới đây).
17. M Gọi là trung điểm của . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng M Lời giải Ta có là trung điểm của . Theo giả thiết suy ra ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính ACB 90  ; ABC 60  AC a 3 Vì DM∥∥ BC DM SBC 1 1 Do đó d DM,,,, SB d DM SBC d M SBC d A SBC (vì MB AB ) AB 2 2 BC AC Kẻ AH SC .Ta lại có BC SAC AH BC. BC SA AH SC Khi đó AH  SBC d A, SBC AH . AH BC Xét tam giác SAC vuông tại A , ta có AB SB 2 2 DM AC2.9 SA 2 aa3 . 3 a 2 3 2 AH a AH 2 2 2 . AC SA aa33 2 4 2
18. 1 1 3a Vậy d DM,, SB d A SBC AH . 2 2 4 Nhận xét: 1.Ở ví dụ 3 này ta đã giải ở trên bằng phương pháp trực tiếp, dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng DM, SB rồi tính khoảng cách nhưng ở đây ta bài toán chỉ yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau nên ta có thể giải bài toán trên bằng cách đưa bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Thông qua ví dụ này, học sinh có thể thấy cùng một bài toán học sinh có thể có nhiều cách làm khác nhau. Mỗi cách làm đều giúp học sinh được rèn luyện thêm kiến thức kĩ năng về vẽ hình, tính toán và giải toán. Tuy nhiên học sinh cần nhận thấy với câu hỏi dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung thì bắt buộc ta phải dựng trước, còn với bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thì ta có thể dựng đoạn vuông góc của hai đường thẳng đó, cũng có thể không cần dựng mà ta đưa về bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. 2. Các bài tập 1,2,3 các bài tập tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ở đây có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy Thông qua các ví dụ gv có thể hướng dẫn học sinh cách làm như sau Hai đường thẳng ab, chéo nhau và không vuông góc với nhau, có một đường nằm trên mặt phẳng đáy và một đường cắt mặt phẳng đáy.  Phương pháp:
19. Gọi  là mặt phẳng đáy, Ba   . Trong mặt phẳng  kẻ đường thẳng b đi qua và song song với đường thẳng . Gọi là mặt phẳng đi qua đường thẳng a và đường thẳng . Khi đó b∥ d a, b d b , 1 . Chọn điểm Sa , kẻ SA   tại . Chọn điểm Mb và gọi I  AM b (chọn sao cho tính IM, IA dễ nhất). IM Suy ra d b,,., d M d A . IA Bài toán trở thành tính khoảng cách dA , . A Ví dụ 4: Cho hình chóp S. ABC có SA () ABC , tam giác ABC vuông cân tại , AB a, SA a 3.Gọi MN, lần lượt là trung điểm của và . Tính khoảng cách giữa và SC. MN + Dựng CD BA, suy ra MN ∥ ()SCD . SA + Kẻ AH SD, H SD . (1) CD AD B + Ta có:  CD() SAD CD AH . (2) CD SA  SB SA. AD a 3. a a 3 + Từ (1) và (2) suy ra AH( SCDb ) d ( A ,( SCD )) AH . SD22 a 13a + Lại có d( MN ,) SC d ( MN ,( SCD )) d (,( M SCD )) d (,( A SCD )) . 24
20. a 3 Vậy d(,) MN SC . 4 Nhận xét: Ta thấy và đều là hai đường thẳng không nằm trong mặt phẳng đáy, tuy nhiên song song nằm trong mặt phẳng đáy nên ta có thể đưa bài toán về dạng trên M Ví dụ 5: Cho hình chóp đều S. ABC có AB a, SA a 3. Gọi là trung điểm của , G là trọng tâm của tam giác ABC . Tính khoảng cách giữa MB và SG . Lời giải SC MN + Gọi là trung điểm của BC . Dựng MN // SG, N AI . 2 2aa 3 3 Suy ra NI AI . 3 3 2 3 + Ta có SG∥ ()BMN . Suy ra d(, SG BM ) d (,( SG BMN )) d (,( G BMN )) . I + Dựng GH BN, H BN . (1) SA + Ta có GH MN . (2) + Từ (1) và (2) suy ra GH () BMN . + Suy ra d( G ,( BMN )) GH . AB 2 2 a a a37 a BI 22 + Ta có , BN BI NI . 2 23 23