Nâng cao kỹ năng giải bài toán khoảng cách trong không gian cho học sinh lớp 11

Nội dung tài liệu: Nâng cao kỹ năng giải bài toán khoảng cách trong không gian cho học sinh lớp 11

1. 1 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc THUYẾT MINH MÔ TẢ GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: “Nâng cao kỹ năng giải bài toán khoảng cách trong không gian cho học sinh lớp 11”. 2. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 11/2024. 3. Các thông tin cần bảo mật: Không. 4. Mô tả các giải pháp cũ thường làm + Hiện trạng của vấn đề trước khi áp dụng giải pháp mới: - Giáo viên vẫn thường dạy và hướng dẫn giải một bài toán khoảng cách trong không gian bằng phương pháp trình bày lời giải qua các dạng toán nhưng ít chú trọng phân tích để tìm ra lời giải cũng như hướng dẫn học sinh những lưu ý khi giải bài toán khoảng cách trong không gian. - Học sinh thiếu kỹ năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa bài toán từ đó các em không hiểu sâu vấn đề dẫn đến hay quên công thức và không biết cách giải. - Hình học là một môn học khó với học sinh nói chung và học sinh lớp 11 nói riêng đặc biệt là hình học không gian yêu cầu phải tưởng tượng khi vẽ hình, cầu kì trong trình bầy lời giải. + Về nhược điểm, hạn chế của giải pháp trước khi áp dụng giải pháp mới: - Học sinh còn lúng túng khi giải quyết bài toán khoảng cách, đặc biệt là những bài toán dài và trừu tượng. - Học sinh chưa có một hệ thống bài tập được phân dạng phù hợp với trình độ nhận thức có sự phân tích vẽ hình và lời giải chi tiết cũng như những lưu ý khi làm toán khoảng cách trong không gian. 5. Sự cần thiết phải áp dụng giải pháp sáng kiến - Trong các đề thi tốt nghiệp THPTQG, đề thi học kì, đề thi học sinh giỏi luôn có những câu về khoảng cách trong không gian từ mức độ nhận biết, thông hiểu cho đến mức độ vận dụng, vận dụng cao. Học sinh phải có một lượng kiến thức nhất định về nội dung này thì mới có được kết quả tốt trong học tập đồng thời còn sử dụng kiến thức về khoảng cách để tính những bài toán thể tích, là bài toán quan trọng có rất nhiều trong đề thi. - Việc giải một bài toán khoảng cách thường khiến học sinh lo lắng và không tự tin vào kết quả của mình. Do đó việc cung cấp cho các em phương pháp phân tích đúng đắn để vẽ hình và tìm ra lời giải là việc làm cần thiết giúp các em có được kết quả tốt trong các kì thi.
2. 2 6. Mục đích của giải pháp sáng kiến - Biên soạn được hệ thống bài tập khoảng cách trong không gian phù hợp với đối tượng học sinh các lớp từ cơ bản đến nâng cao sử dụng ôn tập cho học sinh lớp 11 và có thể sử dụng để ôn thi tốt nghiệp THPT cho học sinh lớp 12. - Nâng cao chất lượng học tập của học sinh khi học chủ đề Quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 và chất lượng bộ môn Toán nói chung. - Giúp học sinh phân chia các dạng toán về khoảng cách, trang bị kỹ năng phân tích để vẽ hình và tìm ra lời giải. 7. Nội dung: 7.1. Thuyết minh giải pháp: Nâng cao kỹ năng giải bài toán Khoảng cách trong không gian cho học sinh lớp 11. 7.1.1. Phân dạng và hướng dẫn học sinh giải bài toán Khoảng cách trong không gian. Phương pháp chung Với mỗi dạng toán giáo viên đưa ra phương pháp và một số ví dụ minh họa. Trong mỗi ví dụ sẽ thực hiện qua các bước 1. Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Phương pháp: Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a . Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa tính trực tiếp + Trong mặt phẳng chứa và a , Hạ chân đường cao H của xuống a . + Tính OH . + Kết luận d(;) O a= OH . Phương pháp 2: Sử dụng kĩ thuật chuyển đỉnh tính gián tiếp Nếu từ điểm O tính trực tiếp khoảng cách tới đường thẳng khó khăn ta chuyển sang tính khoảng cách từ "điểm đặc biệt" là điểm A .
3. 3 + Trường hợp 1: Nếu OA// a thì O A d(;)(;) O a= d A a a H K + Trường hợp 2: Nếu OA= a I thì A O Mới d(;) O a OH IO Giao cuõ = = = Cũ d(;) A a AK IA Giao môùi I a Giao H K Chú ý: "Điểm đặc biệt" thường là chân đường cao hạ từ đỉnh của hình chóp xuống đáy. Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có AC⊥ ( BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a . Biết AC= a 2 và M là trung điểm của BD . a) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BD . b) Tính khoảng cách từ C đến AM. c) Gọi N là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ điểm N đến AD. d) Tính khoảng cách từ điểm B đến AD. Hướng dẫn học sinh a) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BD . Phân tích và dựng hình: Sau khi tìm hiểu đề bài A ta vẽ hình. Từ dữ kiện đầu bài ta suy ra được tam giác ABD cân tại A nên ta có thể tính trực tiếp khoảng cách từ đến BD . C D M B Lời giải: Do AC⊥ ( BCD) nên AC⊥⊥ CD; AC CB suy ra 2 AB= AC2 + BC 2 =( a23) + a 2 = a ; 2 AD= AC2 + DC 2 =( a23) + a 2 = a Từ đó suy ra tam giác ABD cân tại A . Vì M là trung điểm của BD nên CM⊥ BD .
4. 4 Vậy khoảng cách từ A đến là 2 2 2 2 aa11 d( A;3 BD) = AM = AB − AM =( a ) − = . 22 Nhận xét: Ta có thể tính AM bằng cách xét tam giác ACM vuông tại C có 2 2 a 3 2 2 aa3 11 = . Khi đó d A;2 BD= AM = AC + CM = a + = . CM ( ) ( ) 2 22 b) Tính khoảng cách từ C đến AM. Phân tích và dựng hình: Điểm C là hình chiếu A của A trên (BCD) nên điểm C là điểm đặc biệt, ta có thể tính trực tiếp khoảng cách từ đến AM . H C D M B Lời giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AM, khi đó d( C; AM) = CH . Xét tam giác ACM vuông tại C có đường cao CH nên ta có 1 1 1 1 1 11 6aa2 66 = + = + = CH2 = CH = . CH2 CA 2 CM 2 2 2 a 2 a 2 a 3 6 11 11 ( ) 2 a 66 Vậy d( C; AM) == CH . 11 Nhận xét: Tính đường cao AH trong tam giác vuông ABC vuông tại A ta thường dùng ngay công thức A 1 1 1 AB. AC = + AH = AH2 AB 2 AC 2 AB22+ AC C B BD H
5. 5 Do đó ta có ểth tính luôn theo công thức trên thì nhanh hơn a 3 a 2. CA. CM a 66 d( C; AM) = CH = =2 = CA2+ CM 2 2 11 . 2 a 3 a 2 + ( ) 2 c) Gọi N là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ điểm N đến AD. Phân tích và dựng hình: Việc tính khoảng cách A trực tiếp từ N đến AD gặp khó khăn nên ta chuyển về tính khoảng cách từ điểm đặc biệt M đến AD. H N K C D M B Lời giải: Vì MN song song với AD nên d(;)(;) N AD= d M AD . Gọi K là hình chiếu của M trên AD, suy ra a a 3. MA. MD a 39 d(;) M AD= MK = =2 = . 2 2 2 13 MA+ MD 2 a (a 3) + 2 a 39 Vậy d(;)(;) N AD== d M AD . 13 Nhận xét: Dùng kĩ thuật chuyển đỉnh khi tính khoảng cách sẽ giúp bài toán trở nên dễ dàng hơn rất nhiều. d) Tính khoảng cách từ điểm B đến AD. Phân tích và dựng hình: Việc tính khoảng cách trực tiếp từ B đến AD gặp khó khăn nên ta chuyển về tính khoảng cách từ điểm đặc biệt M đến AD dễ dàng hơn.
6. 6 d(;) B AD DB Lời giải: Ta có BM cắt AD tại D nên ==2 . d(;) M AD DM 2a 39 Suy ra d( B ; AD )= 2 d ( M ; AD ) = 2 MK = . 13 Nhận xét: Ta có thể chuyển từ đỉnh B về đỉnh N cũng được kết quả tương tự. 2. Dạng 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Phương pháp: Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) . Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa tính trực tiếp. + Hạ AH⊥ () P tại H. A + Tính AH . + Kết luận d( A ;( P )) = AH . H P) Phương pháp 2: Sử dụng kĩ thuật chuyển đỉnh tính gián tiếp. Nếu từ điểm A tính trực tiếp khoảng cách tới đường thẳng khó khăn ta chuyển sáng tính khoảng cách từ "điểm đặc biệt" là điểm B . + Trường hợp 1: Nếu AB/ /( P ) thì Cũ Mới A B d( A;( P )) = d( B ;( P )) dd= cuõ môùi P) + Trường hợp 2: Nếu AB=() P I thì Mới B d d( A;( P )) IA Giao cuõ Cũ cuõ = = = A dmôùi d( B;( P )) IB Giao môùi Giao I H K P)
7. 7 Ví dụ 2. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a, SA⊥ ( ABCD) và SA= a 3 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) . Hướng dẫn học sinh Phân tích và dựng hình: Trong trường hợp này điểm A chính là điểm đặc biệt của mặt phẳng ()SBC . Nên ta thực hiện việc xác định hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ()SBC và tính. Cụ thể ta có lời giải như sau: BC⊥ AB Lời giải: Ta có ⊥BC( SAB) ⊥(SBC) ( SAB) . Mà (SBC) =( SAB) SB. BC⊥ SA Kẻ AH⊥ SB tại H ⊥ AH( SBC) =d( A,( SBC)) AH . 1 1 1 1 1 4 a 3 Trong SAB : = + = + = AH = AH2 AB 2 SA 2 a 233 a 2 a 2 2 a 3 Kết luận: d A,( SBC) = . ( ) 2 Nhận xét: Việc chứng minh AH⊥ ( SBC) ta có thể làm cách khác như sau BC⊥ AB BC ⊥( SAB) BC ⊥ AH . Mà SB⊥ AH nên AH⊥ ( SBC) . BC⊥ SA Ví dụ 3. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (SBC) theo , biết a 6 SA = . 2 Hướng dẫn học sinh Phân tích và dựng hình: Trong trường hợp này điểm chính là điểm đặc biệt của mặt phẳng . Nên ta thực hiện việc xác định hình chiếu của điểm lên mặt phẳng ()SBC và tính. Lời giải: Gọi E là trung điểm BC thì BC⊥ AE (vì ABC đều). Dựng AF⊥ SE tại F . BC⊥ SA Ta có BC⊥ ( SAE) ⊥BC AF . Mà nên AF⊥ ( SBC) . BC⊥ AE
8. 8 Vậy d(A ,( SBC)) = AF . 1 1 1 2 4 2 a 2 Trong SAE : = + = + = =AF AF2 AS 2 AE 233 a 2 a 2 a 2 2 a 2 Vậy d,A( SBC) == AF . ( ) 2 Nhận xét: Từ hai ví dụ trên ta có thể tổng quát cho dạng bài toán khoảng cách từ chân đường vuông góc ếđ n 1 mặt phẳng bất kỳ Tổng quát: Cho hình chóp S. ABC có SA⊥ ( ABC) ( A là chân đường vuông góc) Trường hợp 1. Trường hợp 2. ABC vuông tại B (hoặc C ) không vuông tại B (hoặc ) Dựng AH⊥ SB d( A; ( SBC)) = AH Dựng AM⊥⊥ BC; AH SM =d( A; ( SBC)) AH ● Chứng minh. ● Chứng minh. AH⊥ SB AH⊥ SM AH⊥⊥ BC() Vì BC( ABS ) AH⊥⊥ BC() Vì BC( SAM ) AH⊥ ( SBC) AH ⊥ (SBC) =d A; SBC AH d A; SBC = AH ( ( )) ( ( )) Ví dụ 4. Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D , AD= 2 a . Trên đường thẳng vuông góc tại D với ( ABCD) lấy điểm S với SD= a 2 . a) Tính khoảng cách từ C đến (SAB) . b) Gọi M là điểm trên SC sao cho CM= 2 MS . Tính khoảng cách từ điểm M đến .
9. 9 Hướng dẫn học sinh a) Tính khoảng cách từ đến . Phân tích và dựng hình: Để tính trực tiếp khoảng cách từ điểm C đến ()SAB trong trường hợp này là khó khăn. Ta có thể chuyển từ điểm C về điểm đặc biệt D là hình chiếu vuông góc của S trên ()ABCD . Lời giải: Vì CD//;// AB AB ( SAB) CD( SAB) =d C;;( SAB) d D( SAB) ( ) ( ) + SD⊥ ( ABCD) D là chân đường cao của hình chóp ABD vuông tại A (Do hình thang ABCD vuông tại ) Dựng DH⊥ SA d( D; ( SAB)) = DH =d( C;( SAB)) DH . DH⊥ SA + Ta có DH⊥ AB( Vì AB ⊥( SAD) ; DH  ( SAD)) . DH ⊥( SAB) d( D; ( SAB)) = DH . Mà CD//;// AB AB ( SAB) CD( SAB) d C;;; SAB = d CD SAB = d D SAB . ( ( )) ( ( )) ( ( )) Trong tam giác vuông SAD ta có: SA.2 AD a 2a DH ==. Vậy d( C;( SAB)) == DH . SA22+ AD C 3(SAB) 3 CM= 2 MS Nhận xét: Dùng kĩ thuật chuyển đỉnh sẽ giải bài toán tính khoảng cách dễ dàng hơn. b) Gọi M là điểm trên SC sao cho . Tính khoảng cách từ điểm M đến .
10. 10 Phân tích và dựng hình: Để tính trực tiếp S khoảng cách từ điểm đến trong trường hợp này là khó khăn. Ta có thể chuyển từ điểm M về điểm C . ()SAB H C D A B d( M ;( SAB )) SM 1 Lời giải: Do MC=() SAB S nên ==. d( C ;( SAB )) SC 3 1 1 2aa 2 3 Suy ra d(;( M SAB ))= d (;( C SAB )) = . = . 3 33 9 Nhận xét: Nếu đề bài yêu cầu tính khoảng cách từ M tới (SAB) ngay từ đầu mà chưa làm phần a thì học sinh sẽ lúng túng trong việc chuyển về đỉnh nào. Một bài toán khoảng cách có thể được giải quyết khi ta chuyển qua nhiều điểm mới ra kết quả. Ví dụ 5. Cho lăng trụ ABCD. A B C D , với ABCD là hình chữ nhật, AB== a,3 AD a . Hình chiếu vuông góc của A trên ( ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính d( B ',( A ' BD )) . Hướng dẫn học sinh B' Phân tích và dựng hình: Để tính trực C' tiếp khoảng cách từ điểm B đến ()A BD trong trường hợp này là khó khăn. Nhận A' thấy B C/ /( A BD ) nên ta có thể chuyển D' từ điểm về điểm C . B C O H A D Lời giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì BCAD // nên B C//( A BD) . Do đó d( B ,( A BD ))= d ( C ,( A BD )) + Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ CH⊥ BD, ( H BD ) (1) . Mặt khác A O⊥( ABCD ) A O ⊥ CH (2) Từ (1) và (2) suy ra: CH⊥( A BD ) d ( B ,( A BD )) = CH CB. CD a . a 3 a 3 + Xét tam giác vuông BCD có: CH = = = . 2 2 2 2 CB+ CD aa2 + 3 M ( )
11. 11 a 3 Vậy d( B ,( A BD )) == CH . 2 Nhận xét: Trong ví dụ này học sinh có thể chuyển về điểm A cũng cho kết quả tương tự. Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=AD=a, CD=2a, SD⊥ () ABCD , SD=a. a) Tính d( D ,( SBC )) . b) Tính d( A ,( SBC )). Hướng dẫn học sinh a) Tính . Phân tích và dựng hình: D là điểm đặc S biệt của ()SBC nên có thể tính trực tiếp H khoảng cách từ đến ()SBC . M D C A B E Lời giải: Trong mặt phẳng (SBD) kẻ DH⊥ SB, ( H SB ) (1) . 1 +Gọi M là trung điểm của BC. Vì BM= AD = CD Tam giác BCD vuông tại B 2 hay BC⊥ BD (*) . Mặt khác, vì SD⊥( ABCD ) SD ⊥ BC (**) . Từ (*) và (**) ta có: BC⊥( SBD ) BC ⊥ DH (2). Từ (1) và (2) suy ra: DH⊥ () SBC hay d( D ,( SBC )) = DH DB. DS a . a 2 a 6 + Xét tam giác vuông SBD có: DH = = = . 2 2 2 3 DB+ DS aa2 + ( 2) a 6 Vậy d( D ,( SBC )) = . 3 Nhận xét: Trong phần này mấu chốt là chứng minh được tam giác BCD vuông tại B từ đó chỉ ra được BC vuông góc với (SDB). b) Tính . Phân tích và dựng hình: Tính khoảng cách trực tiếp từ A đến ()SBC là khó khăn nên ta có thể chuyển về điểm là điểm đặc biệt.
12. 12 Lời giải: Gọi E là giao điểm của AD và BC suy ra AD=() SBC E . 1 Ta có AB//; DC AB= DC nên AB là đường trung bình trong tam giác DEC. Suy ra A 2 là trung điểm của DE. Do đó d( A ,( SBC )) AE 1 1 1 a 6 a 6 = = d(,( A SBC )) = d (,( D SBC )) = . = . d( D ,( SBC )) DE 2 2 2 3 6 a 6 Vậy d( A ,( SBC )) = . 6 EA Nhận xét: Trong trường hợp này vẽ hình đúng tỉ lệ thì việc tìm tỉ số sẽ dễ dàng ED hơn. Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a, (SBC )⊥ ( ABC ), SB = 2 a 3, SBC = 300 . Tính d( B ,( SAC )). Hướng dẫn học sinh Phân tích và dựng hình: Tính khoảng cách trực S tiếp từ B đến ()SAC là khó khăn nên ta có thể chuyển về điểm là điểm đặc biệt với M là hình chiếu của S trên ()ABC . H C B M N A Lời giải: Trong mặt phẳng (SBC) kẻ SM⊥ BC ( M BC ) ; trong mặt phẳng (ABC) kẻ MN⊥ AC ( N AC ) ; trong mặt phẳng (SMN) kẻ MH⊥ SN ( N SN ) . Suy ra, MH⊥( SAC ) d ( M ,( SAC )) = MH + Ta có: SM== SB.sin300 a 3 , BM= SB.cos300 = 3 a CM = a . + Ta có AC= BC22 + BA = 5 a. AB AC AB.3 CM a +Do ABC đồng dạng với MNC nên = MN = = . MN CM AC 5 +Xét tam giác vuông SMN có: 3a a 3. MS. MN 3 a 7 3 a 7 MH= =5 = d( M ,( SAC )) = 2 2 2 . MS+ MN 2 3a 14 14 (a 3) + 5 + Do MB=() SAC C nên ta có M
13. 13 d( B ,( SAC )) BC 6 a 7 = =4 d ( B ,( SAC )) = 4. d ( M ,( SAC )) = . d( M ,( SAC )) MC 7 67a Vậy d( B ,( SAC )) = . 7 Nhận xét: Trong trường hợp này điểm đặc biệt M chưa có sẵn nên giáo viên nhấn mạnh việc chuyển điểm thường về quy về điểm đặc biệt là hình chiếu của đỉnh xuống đáy. Ví dụ 8. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang và ABC== BAD 900 , BA== BC a , AD= 2 a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA= a 2 . Gọi H là hình chiếu của A lên SB. Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD). Hướng dẫn học sinh Phân tích và dựng hình: Trong trường hợp này để tính khoảng cách từ H đến mặt S phẳng (SCD) chúng ta thực hiện liên tiếp các bước quy về việc tính khoảng cách từ H điểm H về điểm B, rồi tiếp đến là về điểm K đặc biệt A. Cụ thể lời giải như sau: A M D B C I SH SH. SB SA2 2 2 Lời giải: Ta có = = = SH = SB SB SB2 SA 2+ AB 2 33 2 Do đó d( H ,( SCD ))= d ( B ,( SCD )) . 3 Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AB và CD, ta có B là trung điểm AI. Suy ra 11 d(,( B SCD ))= d (,( A SCD )) d (,( H SCD )) = d (,( A SCD )) 23 Gọi M là trung điểm AD. Ta có MA= MD = MC AC ⊥ CD . Gọi K là hình chiếu của A lên SC. Khi đó CD⊥ AC,() CD ⊥ SA CD ⊥ SAC CD ⊥ AK . Mà AK⊥ SC AK ⊥ () SCD , suy ra d( A ,( SCD )) = AK . 1 AK a Mặt khác: AC= AB22 + BC = a2 AK = SC = a . Vậy d( H ,( SCD )) ==. 2 33 Nhận xét: Trong ví dụ này học sinh cũng cần có tư duy nhanh nhậy mới nghĩ được cách chuyển điểm qua nhiều bước. Thông thường vẫn chuyển về điểm đặc biệt là hình chiếu của đỉnh xuống đáy.
14. 14 3. Dạng 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp 1: Dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b . * Khái niệm đường vuông góc chung + Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b đồng thời cùng vuông góc với mỗi đường ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b . + Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b tại AB, thì độ dài đoạn thẳng AB gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b . Kí hiệu: = d( a, b) AB * Cách dựng đường vuông góc chung ▶ Cách 1: Khi a vuông góc với b  Dựng một mặt phẳng ( ) ⊥ab,( ) tại N  Trong ( ) dựng NM⊥ a tại M  Đoạn MN là đoạn vuông góc chung của a và b ▶ Cách 2: Khi không vuông góc với  Dựng một mặt phẳng (P)  b,//( P) a .  Dựng a' là hình chiếu của a lên mặt phẳng (P) , bằng cách lấy Ma dựng đoạn MN⊥ ( P) , lúc đó a' là đường thẳng đi qua N và song song với a .  Gọi H= a' b , dựng HK// MN HK là đoạn vuông góc chung của a và b . Phương pháp 2: Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng chứa đường thẳng kia song song với nó + Dựng mặt ()P chứa và song song với . a A + Tính khoảng cách từ điểm tuỳ ý trên tới ()P . + Kết luận d( a ; b )== d ( a ;( P )) d ( A ;( P )) b H P Phương pháp 3: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đã cho A
15. 15 + Dựng mặt và ()Q song song với nhau lần lượt chứa và b . a A a + Tính khoảng cách từ điểm tuỳ ý trên P tới . + Kết luận d(,) a b== d ((),( P Q )) d (,( A Q )) b H Q Ví dụ 9. Cho hình chóp S. ABCD có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật với AB= a, AD= 2 a , SA vuông góc với mặt đáy và SA= a. a) Tính khoảng cách giữa SA và DC . b) Tính khoảng cách giữa và BD . c) Tính khoảng cách giữa AB và SC . d) Tính khoảng cách giữa AC và SB . Hướng dẫn học sinh a) Tính khoảng cách giữa và . Phân tích và dựng hình: Trong trường hợp này ta S thấy SA⊥ DC nên ta có thể sử dụng phương pháp 1 là tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng SA và DC . A D B C Lời giải: Nhận thấy AD vừa cắt và vừa vuông góc với và nên là đường vuông góc chung của và . Vậy d( SA ; DC )== AD 2 a . Nhận xét: Giáo viên nên lưu ý với những câu hỏi đơn giản học sinh nhận biết đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo có sẵn trong hình vẽ. Giáo viên có() Pthể cho học sinh xác định luôn đường vuông góc chung của SA và BC hoặc SB và CD . b)()P Tính khoảng cách giữa và . Phân tích và dựng hình: Trong trường hợp S này ta thấy SA⊥ BD nên ta có thể sử dụng phương pháp 1 là tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng và BD . A A D K B C
16. 16 Lời giải: Vì SA⊥ () ABCD nên SA⊥ BD . Hạ AK⊥ BD tại K suy ra AK là đường vuông góc chung của và . Do đó d(;) SA BD= AK . + Xét tam giác ABD vuông tại có đường cao nên AB. AD a .2 a 2 a 5 AK = = = 2 2 2 AB+ AD aa2 + (2 ) 5 25a Vậy d(;) SA BD== AK . 5 Nhận xét: Giáo viên nhấn mạnh khi hai đường vuông góc với nhau thì ta nên dùng cách xác định đường vuông góc chung để tính khoảng cách giữa chúng. c) Tính khoảng cách giữa và . Phân tích và dựng hình: Trong trường hợp S này ta thấy và SC không vuông góc với nhau do đó việc xác định đườngAB vuôngSC góc H chung của hai đường thẳng đó tương đối khó khăn nên ta sẽ dùng phương pháp 2. A D K B C Lời giải: Vì AB// DC nên AB//( SDC) , mà (SDC) chứa nên d( AB ; SC )== d ( AB ;( SCD )) d ( A ;( SCD )) SA DC⊥ SA + Vì ⊥DC( SAD) DC⊥ AD + Hạ AH⊥ SD tại H mà AH⊥ DC (do DC⊥ ( SAD)), suy ra AH⊥ ( SCD) . Do đó d( A ;( SCD )) = AH . + Xét tam giác SAD vuông tại có đường cao AH nên AS. AD a .2 a 2 a 5 AH = = = . 2 2 2 AS+ AD aa2 + (2 ) 5 25a Vậy d(;) AB SC== AH . 5 Nhận xét: Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh cách xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và SC là MN như hình vẽ S H M BD A D A N K B C
17. 17 Tuy nhiên nhấn mạnh khi tính khoảng cách gữa hai đường thẳng chéo nhau mà chúng không vuông góc thì nên dùng phương pháp 2. d) Tính khoảng cách giữa và . Phân tích và dựng hình: Trong S trường hợp này ta thấy AC và không vuông góc với nhau do đó việc xác định đường vuông góc I chung của hai đường thẳng đó A E D tương đối khó khăn nên ta sẽ dùng phương pháp 2. F B C Lời giải: Dựng BE// AC , E AD suy ra AEBC là hình bình hành do đó AE= 2 a . Vì nên BE//( SBE) , mà (SBE) chứa nên d( AC ; SB )AB== d ( AC ;( SBE )) d ( A ;( SBE )) + Hạ AF⊥ BE tại F mà EB⊥ SA (do SA⊥ ( ABCD) ), suy ra EB⊥ ( SAF) . AC SB + Hạ AI⊥ AF tại I mà AI⊥ EB (do EB⊥ ( SAF) ), suy ra AI⊥ ( SBE) . Do đó d( A ;( SBE )) = AI . + Xét tam giác ABE vuông tại có đường cao AF nên AE. AB a .2 a 2 a 5 AF = = = . 2 2 2 AE+ AB aa2 + (2 ) 5 + Xét tam giác SAF vuông tại có đường cao AI nên 25a a. AS.2 AF a AI = =5 = . AS2+ AF 2 2 3 25a a2 + 5 2a Vậy d(;) AC SB== AI . 3 Nhận xét: Việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau quy về tính khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng nên ta thường chuển về tính khoảng cách từ "điểm đặc biệt " là hình chiếu của đỉnh xuống đáy. Ví dụ 10. Cho tứ diện ABCD có AB= a, tất cả các cạnh còn lại bằng3a . Tính SBd(,) ABCD CD . Hướng dẫn học sinh Phân tích và dựng hình: Nhận thấy A AB⊥ CD nên ta có thể xác định đường vuông góc chung của và . J D A B I C
18. 18 Lời giải: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của CD và AB. + Vì tam giác ACD và tam giác ACD là các tam giác đều nên a CD⊥ AICD, ⊥ BI CD ⊥ ( AIB ) CD ⊥ IJ (1) Mặt khác, ACD = ACD nên tam giác AIB cân tại I. Do đó, IJ⊥ AB (2) + Từ (1), (2) suy ra: IJ là đường vuông góc chung của AB và CD. 2 2 22 3a 3 a a 26 + Ta có: IJ= AI − AJ = − = . 2 2 2 a 26 Vậy d(,) AB CD = . 2 Nhận xét: Với bài toán này việc sử dụng phương pháp 2 là tương đối khó khăn nên giáo viên sẽ gợi ý sử dụng phương pháp 1 nếu học sinh loay hoay chưa biết định hướng lời giải. Ví dụ 11. Cho hình lăng trụ ABCD. A B C D có tất cả các cạnh bằng và B A D = AA D = AA B = 600 . Tính khoảng cách giữa BC và BD . Hướng dẫn học sinh Phân tích và dựng hình: Nhận thấy hai B C mặt phẳng đáy song song với nhau lần lượt chứa hai đường thẳng và A nên ta sẽ dùng phương pháp 3. D B' C' O H A' D' Lời giải: Vì ()ABCD chứa , ()ABCD chứa mà (ABCD ) / /( A B C D ) nên dBCBD(;)( == d( ABCD );( ABCD )) dA( ;( ABCD )) . + Các tam giác B A D ;; AA D AA B là các tam giác cân và có một góc 600 nên các tam giác đó là các tam giác đều. +Khi đó ứt diện AA B D là tứ diện có các cạnh bằng nhau và bằng nên là tứ diện đều. Gọi O là trung điểm của và là trọng tâm tam giác ABD H ⊥AH() A B D =d( A ;( A B C D )) AH . BC a3 2 2 a 3 a 3 + Ta có AOAHAO =;. = = = . 2 3 3 2 3 2 aa36 Xét tam giác AA H vuông tại H có AH= AA 2 − A H 2 = a 2 − = . 33 a 6 Vậy d(;) BC B D== AH . 3 Nhận xét: Khi có sẵn hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng chéo nhau ta thường dùng phương pháp 3, tuy nhiên thông thường ta hay dùng phương pháp 2. Giáo viên lưu ý với học sinh khi tính khoảng cách giữa và AD cũng lần lượt
19. 19 nằm trên hai đáy tuy nhiên hai đường thẳng này ở vị trí song song nên khoảng cách giữa chúng không bằng khoảng cách giữa hai đáy. Đây là nội dung học sinh cũng hay mắc sai lầm khi làm trắc nghiệm. 4. Dạng 4: Tính khoảng cách giữa các đối tượng song song Phương pháp 1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là M khoảng cách từ 1 điểm thuộc đường này tới đường kia. H 2. Khoảng cách giữa đường thảng và mặt phẳng song M song là khoảng cách từ 1 điểm thuộc đường thẳng tới mặt phẳng. H 3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm thuộc mặt phẳng này tới mặt M phẳng kia. P) N Q) Ví dụ 12. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A B C có AA = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3 . a) Tính khoảng cách giữa BB và CC . b) Tính khoảng cách giữa ()ABC và ()ABC . c) Tính khoảng cách giữa AA và mặt phẳng (BCC B ) . Hướng dẫn học sinh Phân tích và dựng hình: Đây là bài B 2a H C toán xác định khoảng cách giữa các đối a tượng song song, ta dùng ngay khái a 3 A niệm ở trên để tính. a B' C' A' Lời giải: a) Tính khoảng cách giữa và .
20. 20 BB ⊥ BC Do // và nên d( BB ;2 CC) == BC a . CC ⊥ BC b) Tính khoảng cách giữa và . ()ABC⊥ AA Do // và nên d(( ABC );( A B C )) == AA a . ()A B C ⊥ AA c) Tính khoảng cách giữa và mặt phẳng . Ta có A A //// BB A A ( BCC B ) nên d( A A ;( BCC B ))= d ( A ;( BCC B )) Hạ AH⊥ BC tại , mà AH⊥ BB nên AH⊥ ( BCC B ) =d( A ;( BCC B )) AH . 2 2 Xét tam giác ABC vuông tại A có AC= BC22 − AB =(23 a) −( a) = a . AB. AC a 3. a a 3 Đường cao AH = = = . 2 2 2 AB+ AC 2 2 (aa3) + a 3 Vậy d( A A ;( BCC B )) == AH . 2 Nhận xét: Việc tính khoảng cáchBB giữCCa các đối tượng song song thực chất là tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và từ điểm đến mặt phẳng. ()ABC ()ABC 7.1.2. Bài tập tự luyện Trắc nghiệm nhiều lựa chọnAA (BCC B ) Câu 1: Cho hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) , ABCD là hình thang vuông có đáy lớn AD gấp đôi đáy nhỏ BC , đồng thời đường cao AB== BC a . Biết SA= a 3 , khi đó khoảng cách từ đỉnh B đến đường thẳng SC là H 25a a 10 A. a 10 . B. 2a . C. . D. . 5 5 Câu 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA⊥ ( ABCD) và SA= a . Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC . a 3 a 6 a 6 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 4 3 6 Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy bằng a . Tính khoảng cách từ trung điểm M của SA đến mặt phẳng đáy. a A. d( M,( ABCD)) = . B. d( M,3( ABCD)) = a . 3