Phương pháp giải bài toán va chạm trong Cơ học chất điểm

Nội dung tài liệu: Phương pháp giải bài toán va chạm trong Cơ học chất điểm

1. Phần thứ nhất MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Nhân loại đang ở thế kỷ XXI - thế kỷ mà tri thức, kĩ năng của con người được coi là yếu tố quyết định sự phát triển xã hội. Trước những đòi hỏi ngày càng cao về chất lượng nguồn nhân lực phục vụ cho thời kỳ công nghiệp hóa, hiện đại hóa và hội nhập quốc tế của đất nước, mọi người cần phải không ngừng phấn đấu học tập; biết phát huy nội lực, vận dụng kiến thức khoa học vào cuộc sống. Vì vậy, những phẩm chất và năng lực về tính tự lực, tính tích cực hoạt động, sự tư duy sáng tạo của con người cần phải được rèn luyện và bồi dưỡng ngay từ khi còn học ở trường phổ thông. Để đáp ứng mục tiêu này, trong những năm qua, nền giáo dục nước ta có nhiều đổi mới: từ đổi mới chương trình, đổi mới sách giáo khoa, đến đổi mới phương pháp giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng giáo dục. Trong đó, việc đổi mới phương pháp giảng dạy, hệ thống bài tập đã được nhiều nhà giáo dục học nghiên cứu và thử nghiệm. Tuy nhiên vẫn còn tồn tại những vấn đề mà chúng ta chưa thể giải quyết như: Với các học sinh lớp chuyên và tiền đội tuyển, số lượng kiến thức cần trang bị là rất lớn, tài liệu tham khảo nhiều nhưng chưa thể hoàn thiện theo yêu cầu của người học bởi các tài liệu hiện có đựợc viết phục vụ cho một diện rộng các đối tượng học sinh, viết gồm nhiều chương nên vấn đề chuyên sâu chưa thực sự đạt được yêu cầu phục vụ các nhiệm vụ học tập. “ Phương pháp giải bài toán va chạm trong Cơ học chất điểm” nhằm giúp HS nắm vững kiến thức cơ bản và phát triển năng lực tư duy vật lý để chủ động, tự lực giải quyết vấn đề thông qua việc được rèn luyện trên một hệ thống bài tập có chất lượng. II. Mục đích nghiên cứu Xây dựng và phân loại hệ thống bài toán va chạm trong Cơ học chất điểm, từ đó đưa ra phương pháp giải nhằm phát huy tính tích cực, tự lực và sáng tạo của học sinh trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi. III. Nhiệm vụ nghiên cứu III.1. Nghiên cứu hoạt động tư duy của HS trong quá trình giải BTVL, từ đó đề xuất một cách phân loại BTVL thích hợp và cách hướng dẫn HS tìm kiếm lời giải BTVL có hiệu quả. III.2. Điều tra cơ bản tình hình dạy học về bài tập phần va chạm ở lớp 10 THPT và lớp chuyên Vật lí. III.3. Xác định một hệ thống bài toán va chạm trong Cơ học chất điểm giúp HS thông qua giải nó mà nắm vững kiến thức cơ bản, rèn luyện được kĩ năng, kĩ xảo giải BTVL và phát triển được năng lực giải quyết vấn đề. III. Giả thuyết khoa học Khi dạy học phần động lực học chất điểm lớp 10 lớp nâng cao và lớp chuyên Vật lí, nếu GV lựa chọn được hệ thống bài tập thích hợp, đưa ra được phương pháp giải chung, khái quát và coi trọng việc hướng dẫn HS tự lực, tích cực hoạt động tư duy trong quá trình giải BTVL thì 1
2. chất lượng nắm vững kiến thức cơ bản của HS được nâng cao, đồng thời góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho họ. V. Đối tượng nghiên cứu V.1. Hoạt động của HS khá, giỏi trong khi giải BTVL. V.2. Hệ thống bài tập và phương pháp giải bài tập phần động lực học chất điểm lớp 10 nâng cao và chuyên lí. VI. Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp nghiên cứu chủ yếu được sử dụng là phân tích lí luận, thực nghiệm sư phạm kết hợp các phương pháp khác, như điều tra cơ bản bằng kiểm tra viết, quan sát, trò chuyện. Để đưa ra cách phân loại BTVL dựa vào hoạt động tư duy của HS trong quá trình tự lực giải quyết vấn đề và những cơ sở lí luận về BTVL. Đồng thời, qua điều tra thực trạng nắm vững kiến thức của HS, xem xét thực tiễn sử dụng bài tập của GV, việc giải bài tập của HS mà đề xuất hệ thống bài toán va chạm và nêu ra cách sử dụng nó, cách hướng dẫn giải từng loại BTVL, rồi tiến hành thực nghiệm sư phạm nghiên cứu hiệu quả thực tế của nó. Thực nghiệm sư phạm để từ đó đánh giá hiệu quả của chuyên đê, nếu có thể tiếp tục phát triển chuyên đề lên các mức độ cao hơn nhằm phục vụ việc giảng dạy các lớp chuyên và đội tuyển HSG Quốc gia môn Vật lí. 2
3. Phần thứ hai NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ A - TÓM TẮT KIẾN THỨC I - ĐỊNH NGHĨA. PHÂN LOẠI 1. Định nghĩa, đặc điểm - Va chạm là tương tác giữa các vật xảy ra trong thời gian rất ngắn và vận tốc của các vật thay đổi không đáng kể. - Lực va chạm là xung lực, lực này rất lớn nên làm thay đổi đột ngột động lượng của mỗi vật. - Có thể coi hệ hai vật va chạm là hệ kín trong thời gian va chạm. Do đó có thể áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ trước và sau va chạm. 2. Phân loại - Về năng lượng: Có ba loại: + Va chạm hoàn toàn đàn hồi: động năng của hệ được bảo toàn. + Va chạm hoàn toàn không đàn hồi (va chạm mềm): sau va chạm các vật “dính” vào nhau và chuyển động cùng vận tốc. + Va chạm đàn hồi một phần: động năng của hệ không được bảo toàn. - Về hình học: Có hai loại: + Va chạm xuyên tâm (trực diện): vectơ vận tốc của các vật trước và sau va chạm luôn cùng phương. + Va chạm không xuyên tâm (xiên): vectơ vận tốc của các vật trước và sau va chạm luôn khác phương. II - CÁC TRƯỜNG HỢP THƯỜNG GẶP 1. Va chạm xuyên tâm - Va chạm xuyên tâm đàn hồi: Trường hợp này động lượng và động năng của hệ được bảo toàn: uur uru ur uur ur uur '' + Bảo toàn động lượng: pts p m1 v 1 m 2 v 2  m 1 v 1 m 2 v 2  4.1 + Bảo toàn động năng: 1 1 1 1 W W m v2 m v 2 ... m v '2 m v '2 +... (4.2) đt( )đs 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 * Với hệ hai vật mm12, : ur uur ur uur m v m v m v'' m v 1 1 2 21 12 2 1 1 1 1 m v2 m v 2 m v '2 mv '2 21 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 3
4. m v m v m v'' m v 1 1 2 2 1 1 2 2 4.3 12 1 2 1 '2 1 '2 m1 v 1 m 2v2m 1 v 1 m2v2 2 2 2 2 ' m1 m 2 v 12 m 2 v 2 ' m2 m 1 v 22 m 1 v 1 Từ (4.3): v1 và v2 . mm12 mm12 - Va chạm mềm (hoàn toàn không đàn hồi): Trường hợp này động lượng của hệ được bảo toàn nhưng động năng của hệ không được bảo toàn: + Bảo toàn động lượng: uur uur uru ur ur uur '' pts p m1 v 1 m 2 v 2  m 1 v 1 m 2 v 2  (4.4) + Động năng chuyển hóa thành nội năng:WWQđt đs() (4.5) (Q thường là nhiệt năng làm nóng vật hoặc tỏa ra môi trường xung quanh). * Với hệ hai vật : ur uur r m v m v mm v 1 1 2 212 12 1 2 1 2 m1 v 1 m 2 v2 mm12 v Q 2 2 2 m1 v 1 m 2 v 2 m 1 m 2 v (4.6) 12 1 2 1 2 m1v1 m 2v 2 m12 m v Q 2 2 2 m1 v 1 m 2 v 21 m 1 m 2 2 Từ (4.6): v ;. Q v12 v m1 m 22 m 1 m 2 2. Va chạm không xuyên tâm r Giả sử vật 1 chuyển động với vận tốc v1 đến va chạm xiên vào vật 2 đang đứng yên v2 0. Sau va chạm, hai vật có vận tốc là rr vv12, và hợp với phương vận tốc ban đầu của vật 1 là 12, (Hình 1). Ta có: uur uru ur uur ur uur '' Hình 1 - Bảo toàn động lượng: pts p m1 v 1 m 2 v 2 m 1 v 1 m 2 v 2. ' ' m1 v 1 m1 v 1cosmm, 1 m 2 v 2 cos 2 12 (4.7) ' ' 0 m1 v 1 sin 1 m22 v sin 2 - Trường hợp va chạm là đàn hồi, động năng bảo toàn: WWd t d s . 1 1 1 m v2 m v '2 m v ' 2 4.8 21 1 2 1 1 2 2 2 4
5. B - NHỮNG CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TẬP.  VỀ KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG. - Từ đặc điểm của sự va chạm, ta thấy: hệ hai vật va chạm có thể coi là hệ kín trong thời gian va ur ur chạm. Do đó luôn có thể áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ trước và sau va chạm: ppts - Đối với các va chạm đàn hồi (xuyên tâm và không xuyên tâm), động năng luôn được bảo toàn: WWđ()() t đ s . - Đối với các va chạm không đàn hồi (xuyên tâm và không xuyên tâm), động năng không được bảo toàn, một phần động năng thường được biến thành nhiệt: Wđ()() t W đ s Q hay Wđ()() t W đ s Q  VỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  Với dạng bài tập về va chạm xuyên tâm, đàn hồi. Phương pháp giải là: - Sử dụng công thức của định luật bảo toàn động lượng (va chạm) và bảo toàn động năng (đàn hồi): m m v 2 m v '' v' 1 21 2 2 m1v 1 m 2 v 2 m 1 v12 m2 v 1 mm12 1 1 1 1 m v2 mv2m v '2 m v ' 2 m m v 2 m v 1 1 2 212 1 2 v' 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 m12 m - Một số chú ý: Vận tốc của hai vật có giá trị đại số: theo chiều dương nếu vectơ vận tốc cùng chiều với chiều dương thì v 0 ; nếu vectơ vận tốc ngược chiều với chiều dương thì v 0 .  Với dạng bài tập về va chạm xuyên tâm, không đàn hồi. Phương pháp giải là: - Sử dụng công thức của định luật bảo toàn động lượng (va chạm) và độ giảm động năng (không đàn hồi): m v m v m v'' m v 1 1 2 2 112 2 12 1 2 1 '2 1 ' 2 m1 v 1 m 2 v2 mm1vv 1 2 2 Q 2 2 2 2 '' - Với va chạm mềm (hoàn toàn không đàn hồi): v12 v v , do đó: mv m v v 11 2 2 m1v 1 m 2 v 2 m 1 m 2 v mm12 12 1 2 1 2 m v m v m m v Q 1 mm 2 1 1 2 2 1 2 Qv 12 v 2 2 2 1 2 2 m12 m - Một số chú ý: va chạm mềm giữa vật 1 có vận tốc v1 với vật 2 đang đứng yên v2 0 trong thực tế: búa – cọc; búa – đe, ta được: + Vận tốc hệ sau va chạm và nhiệt lượng toả ra: 5
6. m1v1 1 m 1 m 2 2 v ;.Q v1 mm1 22 mm 1 2 + Nếu mm12 (búa – cọc): 2 vv11m2 . 1122 v v1; Q m 2 v 1 m 1 v 1 Wdt : nhiệt lượng toả ra rất ít. m2 m 22 1 2 1 2 m 1 m1 + Nếu mm12 (búa – đe): 2 vv1m 1 1 .12 v 0;Q m11 v Wdt : nhiệt lượng toả ra rất lớn. m2 m 2 1 2 1 1 m 1 m2  Với dạng bài tập về va chạm đàn hồi của quả cầu với mặt phẳng cố định (Hình 2). Phương pháp giải là: - Sử dụng công thức của định luật bảo toàn động lượng (va chạm) và bảo toàn động năng (đàn hồi), với mv22 ;0 ta được: + Với va chạm xuyên tâm: m v m v'' m v 1 1 112 2 12 1 '2 1 '2 mv11 m12v12 m v 2 2 2 Hình 2 m1 1 ' m1 m 2 m 2 ' v v v v m vm v v 1 1 1 1 1 112 2 mm m1 1 2 1 ' ' '2 m m v v vv v m 2 1 11 1 1 2 2 ' 2m1 vv21 0 m12 m + Với va chạm xiên: ' ' 2 2 ' '2 '2 ' vvvvv11111t t;;;; n n vvv 111 t n vvvv 1111 t n . ( vt là thành phần tiếp tuyến, vn là thành phần pháp tuyến). - Một số chú ý: Với va chạm xiên, để xác định các thành phần vận tốc ta chiếu hệ thức định luật bảo toàn động lượng dạng vectơ lên hai phương tiếp tuyến và pháp tuyến. Kết hợp với hệ thức bảo toàn động năng ta xác định được các đại lượng cần tìm. C - CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG. Bài 1. Quả cầu I chuyển động trên mặt phẳng ngang trơn, với vận tốc không đổi đến đập vào quả cầu II đang đứng yên. Va chạm là hoàn toàn đàn hồi. Sau va chạm vận tốc hai quả cầu ngược nhau, cùng độ lớn. 6
7. Tính tỉ số các khối lượng của hai quả cầu. Bài giải Gọi m1 và m2 lần lượt là khối lượng quả cầu I và II; v0 là vận tốc của quả cầu 1 trước va chạm; v1 và v2 lần lượt là vận tốc của quả cầu I và II sau va chạm. ur - Hai quả cầu đặt trên mặt phẳng ngang nhẵn nên không có lực ma sát, mặt khác trọng lực P và ur phản lực Q cân bằng nhau nên hệ hai quả cầu là hệ kín khi va chạm. - Theo định luật bảo toàn động lượng (theo phương ngang), ta có: m1 v 0 m 1 v 1 m 2 v 2 (1) - Sau va chạm vận tốc hai quả cầu ngược chiều nhau, cùng độ lớn nên: vv21 (2) - Thay (2) vào (1) ta được: m1 v 0 m 1v 1 m 2 v1 m12 m v1 mv10 v1 (3) mm12 - Vì va chạm là hoàn toàn đàn hồi nên động năng bảo toàn: v2 v 2 v 2 m0 m 1 m 2 (4) 12 1 2 2 2 v2 v 2 v 2 v 2 - Thay (2) vào (4) ta được: m0 m 1 m 1 m m 1 12 1 2 2 2 1 2 2 2 2 mv1 0 v1 (5) mm12 2 m v m v2 m 1 - Từ (3) và (5) suy ra: 1 0 1 0 1 m m m m2 m m 1 2 1 2 mm12 1 2 m2 m 2 30 m 1 m1 1 Vì m2 0 m 2 3 m 1 0 m2 3 m 1 Vậy: Ti số các khối lương của hai quả cầu là 1 m2 3 Bài 2. Quả cầu khối lượng M 1 kg treo ở đầu một dây mảnh nhẹ chiều dài l 1,5m. Một quả cầu mg 20 bay ngang đến đập vào M với v 50 (m/s). Coi va chạm là đàn hồi xuyên tâm. Tính góc lệch cực đại của dây treo M. Bài giải Gọi và lần lượt là vận tốc của quả cầu m và M ngay sau va chạm. 7
8. r - Chọn chiều dương theo chiều của vận tốc v . Theo phương ngang, động lượng được bảo toàn nên: mv mv12 Mv (1) - Vì va chạm là đàn hồi xuyên tâm nên động năng bảo toàn: v2 vv22 m m12 M (2) 2 2 2 M - Từ (1) suy ra: v v v (3) 12m M - Từ (2) suy ra: v2 v 2 v 2 (4) 12m - Chia theo vế (4) cho (3) ta được: v v v 12 Hình 3 - Giải hệ (3) và (5) ta được: m M v 2mv vv ; (6) 12m M m M - Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật M tại vị trí A và B (gốc thế năng trọng lực tại vị trí cân bằng A): v2 M2 Mgh Mgl 1 cos 2 2 2 v2 12 mv cos 1 1 . (7) 22gll g m M 2 1 2.0,02.50 0 cos 1 . 0,87 29,5 . 2.10.1,5 0,02 1 Vậy: Góc lệch cực đại của dây treo là 29,50 . Bài 3. Hai quả cầu m12 200 g , m 100 g treo cạnh nhau bởi hai dây song song bằng nhau như hình 4. Nâng quả cầu I lên độ cao h 4,5 cm rồi buông tay. Hỏi sau va chạm, các quả cầu được nâng lên độ cao bao nhiêu, nếu va chạm là hoàn toàn đàn hồi? Bài giải Gọi v0 là vận tốc của vật m1 ngay trước va chạm. Áp dụng định luật Hình 4 bảo toàn cơ năng cho vật tại 2 vị trí A và B (gốc thế năng trọng lực tại vị trí cân bằng); 8
9. 1 mmgh v22 v 2 gh (1) 112 00 Gọi và lần lượt là vận tốc của vận tốc của vật và vật m2 ngay sau va chạm. Áp dụng v1 v2 định luật bảo toàn động lượng theo phương ngang cho hệ trước và sau va chạm, với chiều dương theo r chiều của v0 : m1 v 0 m1 v1 m 2 v2 (2) Vì va chạm là đàn hồi xuyên tâm nên động năng bảo toàn: v2 vv22 m0 m12 m (3) 12 1 2 2 2 Giải hệ (2) và (3) ta được: m1 m 2 v 0 v1 (4) mm12 2mv10 và v2 (5) mm12 - Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho mỗi vật: 1 v2 * Vật m: m gh m v2 h 1 (6) 1 1 122 1 1 1 g Thay (4) vào (6) và chú ý đến (1) ta được: 22 2 2 m1 m 2 v 0 m 1 m 2 0,2 0,1 h11 2 2. h h 2 .4,5 0,5 cm . m1 m 2 .2 g m 1 m 2 0,2 0,1 1 v2 * Vật m: m gh m v2 h 2 (7) 2 2 222 2 2 2 g Thay (5) vào (7) và chú ý đến (1) ta được: 2 2 2 2 4m1 v 0 4 m 1 v 0 4.0,2 h22 2 2. h h 2 .4,5 8 cm . m1 m 2 .2 g m 1 m 2 0,2 0,1 Vậy: Sau va chạm hai vật lên được độ cao cực đại lần lượt là h1 0,5 cm và h2 8 cm . Bài 4. Hai quả cầu giống nhau treo cạnh nhau bởi hai dây song song bằng nhau. Kéo lệch hai quả cầu khỏi phương thẳng đứng về hai phía với cùng góc rồi thả cùng lúc. Coi va chạm giữa hai quả cầu là hoàn toàn đàn hồi. Tính lực tác dụng lên giá treo: m a) Tại lúc bắt đầu thả các qu1ả cầu. b) Tại các thời điểm đầu, cuối của quá trình va chạm giữa các quả cầu. c) Tại thời điểm các quả cầu bị biến dạng nhiều nhất. 9
10. Bài giải a) Lực tác dụng lên giá treo tại lúc bắt đầu thả các quả cầu Gọi lực căng của mỗi dây treo lúc bắt đầu thả các quả cầu làT1 ; vận tốc của mỗi quả cầu là v1 0 . - Theo định luật II Niu-tơn, ta có: ur ur r T1 P ma (1) - Chiếu (1) xuống phương dây treo với chiều dương hướng về điểm treo O, ta được: v2 T mgcos ma m 1 0 1 ht l T1 mg cos Hình 5 - Hai dây hợp với nhau góc 2 (hình vẽ) nên hợp lực do hai dây tác dụng lên giá treo là: 2 F11 2 T cos 2 mg cos 2 Vậy: Lực tác dụng lên giá treo tại lúc bắt đầu thả các quả cầu là F1 2 mg cos . b) Lực tác dụng tại các thời điểm đầu, cuối của quá trình va chạm giữa các quả cầu * Tại thời điểm đầu của quá trình va chạm (ngay trước va chạm): Tại thời điểm đầu của quá trình va chạm, 2 quả cầu ở vị trí cân bằng. Gọi lực căng của mỗi dây treo lúc này làT2 , vận tốc của mỗi quả cầu là v2 . - Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho mỗi quả cầu (gốc thế năng trọng lực tại vị trí cân bằng): 1 mgll 1 cos mv22 v 2 g 1 cos (2) 2 22 Phương trình định luật II Niu-tơn (tương tự câu a): vv22 T mg m22 T mg m (3) 22ll - Thay (2) vào (3) ta được: T2 mg 2 gm 1 cos mg 3 2cos - Hợp lực do hai dây treo tác dụng vào giá treo (hai dây song song nhau): F22 2 T 2 mg 3 2cos (4) * Tại thời điểm cuối của quá trình va chạm (ngay sau va chạm): - Gọi lực căng của mỗi dây treo lúc này làT3 , vận tốc của mỗi quả cầu là v3 . 10
11. - Do va chạm là đàn hồi xuyên tâm và hai quả cầu giống nhau nên sau va chạm, hai quả cầu đổi vận tốc cho nhau. Có nghĩa là hai quả cầu đổi chiều chuyển động nhưng độ lớn vận tốc không đổi so với ngay trước va chạm. - Lực căng của mỗi dây treo là: TT32 - Lực do hai dây treo tác dụng vào giá treo (hai dây song song nhau): F3 2 T 3 2 mg 3 2cos F 2 (5) Vậy: Lực tác dụng tại các thời điểm đầu, cuối của quá trinh va chạm giữa các quả cầu là F23 F 2 mg 3 2cos . c) Lực tác dụng lên giá treo tại thời điểm các quả cầu bị biến dạng nhiều nhất - Các quả cầu bị biến dạng nhiều nhất khi chúng đi qua vị trí cân bằng và có vận tốc v4 0 . Gọi lực căng mỗi dây lúc này là T4 . - Tương tự, ta có phương trình định luật II Niu-tơn: T44 mg 0 T mg - Lực do hai dây treo tác dụng vào giá treo (hai dây song song nhau): F44 22 T mg Vậy: Lực tác dụng lên giá treo tại thời điểm các quả cầu bị biến dạng nhiều nhất là F4 2 mg . Bài 5. Hai quả cầu khối lượng m và km treo cạnh nhau trên hai dây song song chiều dài l 1 và l 2 . Kéo dây treo m lệch góc rồi buông tay. Tìm góc lệch cực đại của hai dây treo sau va chạm lần I. Coi va chạm là tuyệt đối đàn hồi và bỏ qua ma sát. Bài giải Gọi v0 là vận tốc của vật m ngay trước va chạm. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật m tại 2 vị trí A và B (gốc thế năng trọng lực tại vị trí cân Hình 6 bằng): 1 mgll 1 cos mv22 v 2 g 1 cos (1) 12 0 0 1 Gọi v1 và v2 lần lượt là vận tốc của vật m và vật km ngay sau va chạm. Vì va chạm là đàn hồi xuyên tâm, nên ta có: m km v 1 k v v 00 (3) 1 m km1 k 22mv v v 00 (4) 1 m km1 k - Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho mỗi vật: 11
12. 1 * Vật m: mv2 mgl 1 cos 2 1 1 1 2 2 v1 1 1 kv 0 cos 1 1 1 . (5) 2gll11 2 g 1 k - Thay (1) vào (5) ta được: 2 11 k cos 11 1 . .2gl 1 cos 21gkl 1 2 1 k cos 1 1 . 1 cos 1 k 2 1 k 1 arccos 1 . 1 cos 1 k 1 * Vật M km: mv2 kmgl 1 cos 2 2 2 2 2 2 Hình 7 vv2012 cos 2 1 1 . (6) 2gll22 2 g 1 k - Thay (1) vào (6) ta được: 2 12 cos 21 1 . .2gl 1 cos 21gkl 2 4l 1 cos 2 1 2 . 1 cos l 2 1 k 4l 1 2 arccos 1 2 . 1 cos . l 2 1 k Vậy: Góc lệch cực đại của hai dây treo sau va chạm lần I là: 2 1 k 1 arccos 1 . 1 cos 1 k 4l 1 và 2 arccos 1 2 . 1 cos l 2 1 k 12
13. Bài 6. Vật khối lượng m1 được thả không vận tốc đầu và trượt xuống một vòng xiếc bán kính R. Tại điểm thấp nhất nó va chạm đàn hồi với vật m2 đang đứng yên. Sau va chạm, trượt theo vòng xiếc đến độ cao h thì rời khỏi vòng xiếc hR . Vật giật lùi lên máng nghiêng rồi lại trượt Hình 8 xuống lên đến độ cao h của vòng xiếc thì cũng rời vòng xiếc. Tính độ cao ban đầu H của và tính tỉ số các khối lượng. Bỏ qua ma sát. Bài giải Gọi v0 là vận tốc của vật ngay trước va chạm (tại vị trí thấp nhất B). - Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho tại 2 vị trí A và B: 1 mmgH v2 v 2 gH (1) 1 2 1 0 0 Gọi v1 và v2 lần lượt là vận tốc của hai vật và ngay sau va chạm. - Vì va chạm đàn hồi xuyên tâm nên ta có: m1 m 2 v 0 v1 (2) mm12 2mv10 v2 (3) mm12 * Xét sau va chạm: Giả sử vật rời khỏi vòng xiếc tại C, gọi vận tốc của tại C là v2 . - Các lực tác dụng vào tại C: trọng ur ur lực P2 và phản lực Q2 của vòng xiếc, với Q2 0 . - Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho cho 2 vị trí B và C: 11 m v2 m v '2 m gh 222 2 2 2 2 2 '2 v22 v 2 gh (4) Hình 9 - Áp dụng định luật II Niu-tơn cho tại C với Q2 0 ta được: 13
14. v'2 m gcos m2 v'2 gR cos g ( h R ) (5) 2 2R 2 * Xét m1 sau va chạm: Theo đề bài, vật cũng rời khỏi vòng xiếc tại C, gọi vận tốc của tại ' C là v1 . ur ur - Các lực tác dụng vào tại C: trọng lực P1 và phản lực Q1 của vòng xiếc, với Q1 0 . - Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho cho 2 vị trí B và C: 11 m v2 m v '2 m gh v2 v '2 2 gh (6) 221 1 1 1 1 11 - Áp dụng định luật II Niu-tơn cho m1 tại C với ta được: v'2 m gcos m 1 12R '2 v1 gRcos g ( h R ) (7) '2 '2 - Từ (5) và (7) suy ra: vv12 8 22 - Thay (8) vào (4) và (6): vv12 (9) 2 2 m1 m 2 v 0 2mv10 - Thay (2) và (3) vào (9) ta được: m1 m 2 m 1 m 2 2 2 m1 m 2 4 m 1 m 1 m 2 2 m 1 m 2 3 m 1 (loại nghiệm mm21 ). m2 3 (10) m1 22 - Thay (5) vào (4) ta được: v22 23 ghghR v ghgR (11) v 2gH - Thay (10) vào (3) và chú ý đến (1) ta được: v 0 2 22 gH v2 (12) 2 2 gH - Từ (11) và (12) suy ra: 3gh gR 2 H 23 h R (13) m2 Vậy: độ cao ban đầu H của m1 và tính tỉ số các khối lượng là H 23 h R và 3. m1 14
15. Bài 7. Ba vật khối lượng m1,, m 2 m 3 có thể trượt không ma sát theo một trục nằm ngang (hình 10) và m1, m 3 m 2 . Ban đầu mm13, đứng yên còn m2 có vận tốc v. Va chạm là hoàn toàn đàn hồi. Hình 10 Tìm vận tốc cực đại của sau đó. Bài giải Giả sử va chạm vào m3 trước (hình 11). Va chạm giữa với m1 và xảy ra liên tiếp nhiều lần làm cho vận tốc của và tăng dần ( dịch chuyển sang trái và dịch chuyển sang phải), ngược lại vận tốc của giảm dần. - Quá trình va chạm sẽ kết thúc khi vận tốc cuối cùng v2 của bắt đầu nhỏ hơn vận tốc của hoặc . Khi đó vận tốc của và đạt cực đại. Gọi các vận tốc cực đại này là v1 và v3 . - Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ (chiều dương theo chiều của r v ): m2 v m 1 v 1 m 3 v 3 m 2 v 2 (1) - Vì va chạm là hoàn toàn đàn hồi nên cơ Hình 11 năng bảo toàn: 1 1 1 1 m v2 m v 2 m v 2 m v '2 (2) 22 2 1 1 2 3 3 2 2 2 ' ' -Vì và v2 v 1; v 3 nên động lượng cuối cùng mv2 2 của m2 và động năng cuối cùng 1 mv'2 của là rất nhỏ, có thể bỏ qua so với động năng ban đầu của , động lượng và động năng 2 22 cuối cùng của m1 và m3 . Suy ra: 1 m v'2 0; m v '2 0 (3) 2 22 2 2 mm21 v v13 v mm33 - Thay (3) vào (1) và (2) ta được: mm 21v2 v 2 v 2 13 mm33 mm12 - Đặt ab ;1 (4) mm33 15
16. bv av13 v 5 2 2 2 bv av13 v 6 - Từ (5) suy ra: v31 bv av (7) 22 2 - Thay (7) vào (6) ta được: bv av11 bv av 2 2 2 2 a a 1 v11 2 abvv bv b v 0 m Vì b 2 1nên b2 00 b 2 v 2 m3 22 a a 1 v11 2 abvv bv 0 (8) - Giải phương trình bậc hai (8) đối với v1 , ta được: ' abv 2 ab a 1 v22 ab a 1 v ; vì abv 2 0 abv v ab a 11 bv v ab a v 1 a a 1 a 1 a a 1 m2 bv Vì b 1 nên 0 m3 a 1 v ab a 1 ab a 1 b v1 v v (9) a a 11 aa2 1 2 a a (Loại nghiệm v2 0 ) mm23 - Thay (4) vào (9) ta được: vv1 2 (10) m1 m 3 m 1 mm12 - Thay (4) và (10) vào (7) ta được: vv3 2 . m1 m 3 m 3 Vậy: Vận tốc cực đại của mm13, sau đó là và . * Chú ý: Nếu m2 va chạm vào m1 trước thì ta vẫn có kết quả như trên. 16
17. Bài 8. Ba quả cầu khối m lư1,,ợ mng 2 m 3 đặt thẳng hàng trên sàn trơn. Quả cầu I chuyển động đến quả cầu II với vận tốc nào đó còn quả cầu II và III đang đứng yên (hình 12). Tính Hình 12 m2 theo m1 , m3 để sau va chạm (tuyệt đối đàn hồi), quả cầu III có vận tốc lớn nhất. Bài giải. Gọi v0 là vận tốc ban đầu của vật I; v2 là vận tốc của vật II sau khi vật I va chạm với vật II; v3 là vận tốc của vật III sau khi vật II va chạm với vật III. - Tương tự bài trên, ta có: 2mv10 v2 (1) mm12 2mv22 v3 (2) mm23 2m2 24m1 v 0 m 1 m 2 v 0 - Thay (1) vào (2) ta được: v3 . m2 m 3 m 1 m 2 m 1 m 2 . m 2 m 3 4m m v 4 v 4 v v 1 2 0 0 0 (3) 3 m m m2 m m m mm mm1 a 1 2 2 1 3 2 3 1 2 33 m1 m 2 m 1 Suy ra: vv3 3max khi aa min . m mm - Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: khi 2 33 m1 m 2 m 1 m2 m3 mm 12 m m 2 3 6 mm11 mm 33 mm21 - Từ (4) suy ra: m2 m 1 m 3 (7) - Từ (5) suy ra: mm23 (8) - Từ (6) suy ra: mm12 (9) - Từ (8) và (9) ta có: m1 m 2 m 3 . Đây là trường hợp đặc biệt của (7). 17
18. Vậy: Điều kiện tổng quát để quả cầu III có vận tốc lớn nhất là: m2 m 1 m 3 . Bài 9. Cho hệ như hình 13. Hai vật cùng khối lượng m đặt trên sàn nhẵn nằm ngang và nối với nhau bằng lò xo độ cứng k. Vật thứ ba cùng khối lượng m đến đập vào một trong hai vật với vận tốc v dọc theo phương song song với trục lò xo. Coi va chạm là tuyệt Hình 13 đối đàn hồi. a) Chứng minh rằng hai vật nối bằng lò xo luôn chuyển động cùng hướng. b) Tính vận tốc mỗi vật khi lò xo dãn tối đa. Bài giải a) Chứng tỏ hai vật nối bằng lò xo luôn chuyển động cùng hướng. Gọi v1 và v3 lần lượt là vận tốc của vật 1 và vật 3 ngay sau va chạm. Chọn chiều dương r hướng sang phải theo chiều của v (hình 14). Áp dụng định luật bảo toàn động lượng và bảo toàn động năng cho hệ hai quả cầu 1 và 3, ta có: mv mv31 mv v v31 v m2 m 2 m 2 2 2 2 v v31 v v v31 v 2 2 2 v v31 v vv1 2 2 2 v v31 v v3 0 - Ngay sau va chạm, vật 3 đứng yên và vật 1 Hình 14 chuyển động sang phải với vận tốc bằng v. Lúc này lò xo chưa kịp biến dạng. Gọi u1 và u2 là vận tốc của vật 1 và vật 2 tại thời điểm bất kì sau va chạm của vật 3 vào vật 1, và x là độ biến dạng của lò xo khi đó. - Áp dụng định luật bảo toàn động lượng và bảo toàn năng lượng cho hệ hai vật 1, 2 và lò xo ta được: mv mu mu v u u (1) 12 12 1 1 1 1 1 mv2 mu 2 mu 2 kx 2 v2 u 2 u 2 kx 2 (2) 2 212 2 2 12m v2 u 2 u 2 2 u u 1 2 1 2 kx2 1 uu12 (3) 2 2 2 2 2m v u12 u kx m 18
19. kx2 - Vì 0 nên u và u luôn cùng dấu, nghĩa là sau va chạm hai vật 1 và 2 luôn chuyển động 2m 1 2 cùng hướng, tức là về cùng một phía. b) Vận tốc của mỗi vật khi lò xo dãn tối đa kx2 Vì u u v không đổi nên theo bất đẳng thức Cô-si thì uu đạt cực đại khi: 12 12 2m v uu (4) 122 vm2 kx2 - Khi đó (3) trở thành: max xv . 4 2mkmax 2 v Vậy: Vận tốc mỗi vật khi lò xo dãn tối đa là uu . 122 * Chú ý: Có thể giải câu b theo cách khác như sau: Gọi G là khối tâm của hệ hai vật 1 và 2; vG là vận tốc của khối tâm G. - Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ gồm vật 1 và vật 2 sau khi vật 3 va chạm vào vật 2, ta có: mv v m v m v hay mv 2 mv v 11 GG GG22m v Như vậy, khối tâm G chuyển động sang phải với vận tốc v . G 2 - Khi lò xo dãn tối đa thì hai vật đứng yên trong hệ quy chiếu khối tâm, tức là đứng yên so với khối tâm G. Suy ra vận tốc của hai vật (đối với mặt đất) bằng nhau và bằng vận tốc của khối tâm. Ta có: (4’) m - Thay (4’ ) vào (3) ta cũng được: xv . max 2k Bài 10. Một viên đạn khối lượng m1 1 kg bay với vận tốc v1 100 m / s đến cắm vào một toa xe chở cát có khối lượng m2 1000 kg đang chuyển động với vận tốc v2 10 m / s Tính nhiệt lượng toả ra trong hai trường hợp: a) Xe và đạn chuyển động cùng chiều. Hình 15 19
20. b) Xe và đạn chuyển động ngược chiều. Bài giải r Gọi v là vận tốc của hệ (đạn + xe cát) sau va chạm. ur - Áp dụng định luật bảo toàn động lượng theo phương ngang cho hệ (các vectơ vận tốc v1 của uur đạn và v2 của xe trước va chạm cùng phương): m1 v 1 m 2 v 2 m 1 m 2 v m v m v v 1 1 2 2 (1) mm12 - Nhiệt lượng tỏa ra trong quá trình va chạm: 1 1 1 Q W W m v2 m v 2 m m v 2 (2) 0dd2 1 1 2 2 2 2 1 2 - Thay (1) vào (2) ta được: 2 122 1 1 m1 v 1 m 2 v 2 Q m1 v 1 m 2 v 2 m 1 m 2 . 2 2 2 mm12 2 122 1 1 m1 v 1 m 2 v 2 Q m1 v 1 m 2 v 2 (3) 2 2 2 mm12 a) Xe và đạn chuyển động cùng chiều: Chọn chiều dương theo chiều chuyển động của đạn trước va chạm (hình vẽ). Ta có: ; Thay số vào (3) ta được: 2 1 1 1 1.100 1000.10 Q .1.10022 .1000.10 . =4046J 2 2 2 1 1000 Vậy: Nhiệt lượng tỏa ra khi va chạm làQJ 4046 . b) Xe và đạn chuyển động ngược chiều: Chọn chiều dương theo chiều chuyển động của đạn trước va chạm (hình vẽ). v1 100 m / s Ta có: ; v2 10 m / s Hình 16 Thay số vào (3) ta được: v2 10 m / s 2 1 12 1 1.100 1000. 10 Q .1.1002 .1000. 10 . =6044J 2 2 2 1 1000 Vậy: Nhiệt lượng tỏa ra khi va chạm làQJ 6044 . 20