Phương pháp năng lượng trong cơ học chất điểm

Nội dung tài liệu: Phương pháp năng lượng trong cơ học chất điểm

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BẮC GIANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG CHUYÊN ĐỀ NGHIÊN CỨU KHOA HỌC PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG TRONG CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM ONG THẾ HÙNG Tổ: VẬT LÝ -KTCN Năm học: 2022 - 2023 Mã số: .................................... Bắc Giang, tháng 3 năm 2023. 1
2. MỤC LỤC CÁC NỘI DUNG Trang PHẦN I: MỞ ĐẦU 03 PHẦN II: NỘI DUNG 04 Chương I: LÝ THUYẾT 04 1. Công 04 2. Công suất 05 3. Năng lượng 06 4. Va chạm 11 5. Khối tâm của hệ chất điểm 12 6. Dao động điều hòa của chất điểm 13 Chương II:MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN CƠ CHẤT ĐIỂM GIẢI BẰNG 14 PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG Dạng 1: Bài toán động lực học chất điểm 14 Dạng 2: Hệ quy chiếu khối tâm – Bài toán va chạm 24 Dạng 3: Dao động điều hòa của chất điểm 33 Chương III: CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỰ GIẢI 40 PHẦN III: KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 2
3. CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG TRONG CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM PHẦN I: MỞ ĐẦU 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Cơ học chất điểm là một phần rất quan trọng trong quá trình nghiên cứu vật lý. Trong chương trình vật lý THPT dành cho học sinh chuyên Lý cũng như chương trình vật lý đại cương, cơ học chất điểm là phần kiến thức khó, đặc biệt là khi nghiên cứu về quá trình chuyển động của chất điểm. Khi nghiên cứu về cơ học chất điểm chúng ta cần chú trọng khảo sát đặc thù chuyển động của chất điểm cũng như của hệ chất điểmvì các dạng chuyển động cơ học đều gắn liền với thực tế.Việc lựa chọn cách giải nào cho phù hợp để đi tới kết quả đúng, nhanh và dựa trên cơ sở nào để lựa chọn phương pháp giải này là điều vô cùng khó khăn đối với người học.Định luật bảo toàn năng lượng luôn tồn tại trong mọi hiện tượng vật lí và đây cũng là phần kiến thức quan trọng giúp chúng ta có thể giải quyết các bài toán cơ học chất điểm tốt hơn, nhanh gọn hơn. Chính vì vậy, để giúp các em học sinh có thể nắm sử dụng tốt định luật bảo toàn năng lượng trong bài toán cơ học chất điểm, để các em có thể tự tin giải các bài toán về cơ học chất điểm khi tham gia các kì thi học sinh giỏi các cấp của tỉnh hay Quốc gia, trong khuôn khổ của một chuyên đề, tôi xin đề cập đến nội dung:“PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG TRONG CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM” 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Hệ thống hóa các kiến thức chuyên sâu phần năng lượng trong cơ học chất điểm. Trình bày các phương pháp đặc trưng giải quyết các bài toán cơ học chất điểm trong chương trình bồi dưỡng HSG. Hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán cơ học chất điểm theo phương pháp năng lượng thông qua hệ thống bài tập ví dụ và bài tập tự giải. 3
4. PHẦN II. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ CHƯƠNG I: LÍ THUYẾT 1. Công Một vật có năng lượng thì có khả năng sinh công và vật sinh công càng nhiều thì chứng tỏ nó có năng lượng càng lớn, công cơ học giống với công trong đời sống ở chỗ là muốn thực hiện công thì phải tiêu tốn một năng lượng. a. Công thực hiện bởi một lực không đổi Dưới tác dụng của lực F không đổi, một chất F điểm di chuyển được đoạn đường s dọc theo một đường s thẳng song song với lực (Hình I.1). Công của lực thực HìnhI.1 hiện trong quá trình này được định nghĩa bởi: A F. s (1.1) Nếu lực không cùng phương với độ dịch chuyển s của chất điểm và góc hợp bởi và là α (Hình I.2) thì công được định nghĩa: HìnhI.2 A F. s .cos (1.2) b. Công thực hiện bởi một lực biến đổi Trong trường hợp tổng quát, chất điểm di chuyển trên một đường cong C nào đó dưới tác dụng của lực có thể biến đổi (Hình I.3). Để tính công trong trường hợp (C) này người ta chia đường cong thành các đoạn thẳng vô dr cùng nhỏ với độ dời là ds . Lực tác dụng lên vật trong HìnhI.3 quãng đường được xem như không đổi. Công của lực thực hiện để vật di chuyển một độ dời là: Công cơ học nguyên tố dA của lực F làm di chuyển một chất điểm trên đoạn đường vi phân ds : dA F.. ds F dr (1.3) Công toàn phần của lực tác dụng lên chất điểm khi chất điểm chuyển động theo quỹ đạo từ (1) đến (2) Lực biến đổi theo một chiều 4
5. 22 A F. dr F dx (1.4) x 11 Lực biến đổi trong không gian 3 chiều 2 2 2 2 A F. dr F dx F dy F dz (1.5) xyz 1 1 1 1 trong đó FFFx,, y z là thành phần của lực trên các trục tọa độ làm dịch chuyển những đoạn tương ứng là dx,, dy dz công của lực bằng tổng công của các lực thành phần trên các trục F toạ độ. Mỗi thành phần của lực có thể phụ thuộc vào các tọa độ (,,)x y z , chúng thay đổi khi chất điểm chuyển động trên quỹ đạo. Công có đơn vị là J. 2. Công suất Như trên ta đã biết tất cả các lực đều có khả năng sinh công, các lực khác nhau thì nói chung khả năng sinh công cũng khác nhau. Để đặc trưng cho khả năng sinh công của lực này nhiều hay ít hơn lực kia người ta đưa ra khái niệm công suất với định nghĩa: Công suất là công của lực thực hiện được trong một đơn vị thời gian. dA Fds P F. v F . v .cos (2.1) dt dt trong đó dA là công của lực thực hiện được trong thời gian dt , α là góc hợp bởi và v . Hay công suất của lực bằng tổng công suất của các lực thành phần trên các trục toạ độ. P Fxyz dx F dy F dz (2.2) 3. Năng lượng Các dạng vận động của vật chất đều liên kết với năng lượng. Năng lượng là một đại lượng đặc trưng cho mức độ vận động của vật chất. Một vật ở trạng thái xác định thì có một năng lượng xác định. Khi một vật không cô lập thì vật có tương tác với các vật bên ngoài, nghĩa là vật đó sẽ trao đổi năng lượng với các vật bên ngoài và biến đổi năng lượng. Giả sử trong một quá trình biến đổi Fnào đó hệ vật chuyển từ trạng thái (1) với năng lượng W1 sang trạng thái (2) với năng lượng tương ứng là W2 . Trong quá trình này hệ nhận một công từ bên ngoài hoặc sinh công cho bên ngoài. Thực nghiệm chứng tỏ rằng: WWA21 (3.1) Đơn vị của năng lượng là J. Trong trường hợp hệ cô lập, tức là hệ không trao đổi năng lượng với môi trường bên ngoài ta có A 0, khi đó: 5
6. WW21 = const (3.2) Năng lượng của một hệ cô lập là một đại lượng bảo toàn. Trong phần cơ học ta chỉ xét dạng năng lượng tương ứng với chuyển động cơ của các vật tức là cơ năng. Cơ năng gồm hai phần: động năng tương ứng với chuyển động và thế năng tương ứng với tương tác giữa các vật. a. Động năng – Định lý động năng * Động năng Mọi vật chuyển động thì có khả năng sinh công, chứng tỏ nó có năng lượng. Năng F lượng mà vật có ở dạng chuyển động như vậy gọi là động năng. Động năng là năng lượng chuyển động của vật, nó là đại lượng đặc trưng cho khả năng sinh công khi vật chuyển động. Ta có nhận xét rằng vận tốc và khối lượng của vật càng lớn thì động năng cũng càng lớn. Điều này có thể kiểm nghiệm qua chuyển động của các vật thường gặp như xe cộ, tàu thuyền ....Như vậy thì động năng phải được tính qua khối lượng và vận tốc. Ngoài ra vì công là một dạng của năng lượng nên có thể tìm động năng bằng cách xuất phát từ biểu thức tính công: dv mv22 mv dA F. ds m ds mvdv d d (3.3) dt 22 mv2 Đại lượng có thứ nguyên năng lượng và theo logic lập luận thì nó chính là động 2 năng của chất điểm. Đơn vị của động năng là đơn vị của năng lượng. mv2 Wđ v ds 2 v1 v2 * Định lý động năng (2) (1) Thay vào (*) ta được: HìnhI.4 dA dWđ W A đ2 Tích phân 2 vế: dA dW A W W W đđ21đđ 0 W đ1 mv22 mv hay A 21 (3.4) 22 Phát biểu: độ biến thiên động năng của chất điểm bằng tổng công của các ngoại lực tác dụng lên chất điểm. 6
7. Đối với hệ n chất điểm n 1 2 Wđ  mi vi (3.5) 2 i 1 Ta cũng xét một hệ gồm n chất điểm: m1, m 2 , m 3 ...tác dụng lên mi của hệ gồm nội lực fi và ngoại lực Fi . Công nguyên tố thực hiện lên vật mi : 2 n ng mvii dAi f i F i dr i dA i dA i d 2 Xét cho toàn hệ: n2 n n n mvii n ng d  dAi  dA i  dA i i 1 2 i 1 i 1i 1 (3.6) dWđ A Độ biến thiên động năng của hệ bằng tổng công của các nội lực và các ngoại lực tác dụng lên hệ. b. Thế năng * Lực thế - Trường lực: là khoản không gian vật lý mà khi chất điểm chuyển động trong trường lực chịu tác dụng lực chỉ phụ thuộc vào vị trí của nó. - Trường lực thế: là trường lực mà công của của lực tác dụng lên chất điểm không phụ thuộc vào quỹ đạo dạng quỹ đạo chuyển động của chất điểm mà chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và vị trí cuối của nó. Lực do trường lực thế tác dụng lên chất điểm đặt trong nó gọi là lực thế. UUUU    F r gradU r i j k (3.7) r  x  y  z * Thế năng Ta dùng hàm Wrt (Wt x,, y z ) hay Ur (U x,, y z ) đặt trưng cho năng lượng tương tác giữa chất điểm và trường lực thế, sao cho: WMWNAt t MN (3.8) hay đựơc gọi là thế năng của chất điểm. Theo lý thuyết trường, các vật tương tác với nhau thông qua trường lực thế (ví dụ: trường hấp dẫn, trường điện từ). Như vậy, thế năng là năng lượng tương ứng với sự tương tác của các vật. Tính chất của thế năng: 7
8. + Thế năng là một hàm vị trí. + Chỉ có lực thế mới có thế năng. + Thế năng không xác định đơn giá. Biểu thức: Một chất điểm được gọi là chuyển động trong một trường lực Fr nếu tại mỗi vị trí r của chất điểm đều xuất hiện lực F F r tác dụng lên chất điểm. (1) Xét một vật chuyển động trong trường lực F từ điểm (1) có tọa độ r1 đến điểm (2) có tọa độ r1 (2) r2 dọc theo một đường cong C (hình I.5). Công của lực thực hiện trong dịch chuyển này là: r2 W A Fdr Fdr C tM M HìnhI.5 trong đó, C là hằng số Wt Fx x Wt Dạng vi phân: Fyt F gradW (3.9) y W F t z z Nếu xét trong trường lực thế thì: N A Fdr C WMN W (3.10)ds MN t t M Trong trường hợp vật chuyển động theo một đường cong kín trong trường lực thế (tức là điểm đầu và điểm cuối của dịch chuyển trùng nhau), thì công của lực thế thực hiện trong di chuyển này bằng không. * Các dạng thế năng trong trường lực thế Thế năng đàn hồi Lực đàn hồi của lò xo được cho bởi công thức (định luật Hooke): Fđh kx trong đó k là hệ số đàn hồi và x là độ biến dạng của lò xo. Công của lực đàn hồi trong dịch chuyển từ vị trí (1) đến vị trí (2): 8
9. 22 11 A F dr k xdx kx22 kx (3.11) đh 12 11 22 Như vậy trường lực đàn hồi cũng là trường lực thế. Thế năng của lực đàn hồi được xác định bằng công thức: 1 W kx2 (3.12) t 2 Thế năng trọng lực Vật khối lượng m trong trường trọng lực chịu tác dụng của trọng lực: P mg trong đó, g là gia tốc trọng trường. Phân tích độ dời vi phân dr thành các thành phần trong hệ tọa độ Descartes: dr dx dy dz Vì P có phương dọc theo phương trục z và ngược chiều với chiều dương trục z nên: (2) (2) A Pdr mgdz mgz mgz 12 (1) (1) Vì công A chỉ phụ thuộc tọa độ vị trí đầu và tọa độ vị trí cuối nên trường trọng lực là trường lực thế. Thế năng trọng trường được xác định bằng công thức: Wt mgz (3.13) Thế năng hấp dẫn Công của lực hấp dẫn của chất điểm M tác dụng lên m đặt cách M một đoạn r làm cho m dịch chuyển một đoạn là: Mmrdr dA Fdr G r3 (2) rdr GMm GMm A GMm 3 (1) r r21 r Công không phụ thuộc vào dạng của đường đi nên trường hấp dẫn cũng là trường lực thế. Thế năng hấp dẫn được xác định bằng công thức: GMm W (3.14) t r c. Cơ năng – Định luật bảo toàn cơ năng * Cơ năng: Cơ năng gồm hai phần: động năng tương ứng với chuyển động và thế năng tương ứng với tương tác giữa các vật. 9
10. * Định luật bảo toàn cơ năng Xét một chất điểm chuyển động từ vị trí (1) đến (2) dưới tác dụng của ngoại lực F là hợp lực của lực thế Ft và lực không thế Fkt FFF t kt Công của hợp lực khi vật di chuyển từ vị trí (1) đến (2) là: (2) (2) (2) A Fds F ds F ds t kt (1) (1) (1) hay: WWWWA đ2 đ 1 t 1 t 2 kt WWWWA+ đ2 t 2 t 1 đ 1 kt (3.15) WWA21 kt Công thức có nghĩa là độ biến thiên cơ năng của hệ bằng công của các lực không thế. Công thức này biểu diễn định luật bảo toàn năng lượng của hệ. Nếu ngoại lực là lực thế (ví dụ trọng lực, lực đàn hồi) thì công của lực thế có thể viết dưới: WW21 0 tức là tổng động năng và thế năng của vật ở vị trí đầu (1) và tổng động năng và thế năng của vật ở vị trí cuối (2) bằng nhau. Cơ năng của vật chuyển động trong trường lực thế là một đại lượng không thay đổi. Trong trường hợp hệ gồm nhiều vật, định luật bảo toàn cơ năng phát biểu rằng: Cơ năng của một hệ cô lập trong trường lực thế không thay đổi. 4. Va chạm Va chạm giữa hai vật là hiện tượng hai vật tương tác với nhau trong khoảng thời gian rất ngắn nhưng động lượng của ít nhất một trong hai vật biến thiên đáng kể. Kết quả tương tác có thể là những hiện tượng rất khác nhau: hai vật tương tác có thể dính lại làm một, có thể những hạt mới xuất hiện, có thể thay đổi hướng và độ lớn vận tốc của các vật . a. Va chạm trực diện Va chạm được gọi là trực diện nếu trước và sau khi va chạm hai vật luôn chuyển động trên một đường thẳng trùng với pháp tuyến của hai mặt tiếp xúc khi va chạm. Nếu hai vật là 2 quả cầu thì va chạm trực diện còn gọi là va chạm xuyên tâm. 10
11. b. Va chạm đàn hồi Va chạm đàn hồi là va chạm mà sau va chạm các vật không bị biến dạng và chuyển động độc lập đối với nhau. Va chạm đàn hồi tuân theo các định luật bảo toàn động lượng và động năng, nếu chọn chiều dương là chiều chuyển động của của vật: m1 v 1 m 2 v 2 m 1 v 1 m 2 v 2 1 1 1 1 m v2 m v 2 m v 2 m v 2 21 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 m1 m 2 v 1 2 m 2 v 2 v1 mm12 Giải hệ phương trình ta được: (4.1) m m v2 m v v 2 1 2 1 1 2 mm12 vv12 trong trường hợp hai quả cầu có khối lượng bằng nhau thì : , ta nói: hai quả cầu vv21 trao đổi vận tốc cho nhau. c. Va chạm không đàn hồi Va chạm không đàn hồi là va chạm trong đó động năng của hệ không được bảo toàn. Phần động năng mất đi chủ yếu là nhiệt năng. d. Va chạm mềm (va chạm hoàn toàn không đàn hồi) Sau va chạm hai quả cầu dính vào nhau và chuyển động cùng một vận tốc. Khi m1 v 1 m 2 v 2 đó trở thành: vv12 (4.2) mm12 Sau va chạm mềm động năng của hệ giảm đi. Phần động năng giảm đi chuyển thành năng lượng biến dạng và nhiệt năng. Để đặc trưng cho các kiểu va chạm trực diện nêu trên, người ta đưa ra hệ số vv phục hồi e với: e 21 vv21 v 2 Nếu e = 1: va chạm đàn hồi. e = 0: va chạm mềm. v1 1 0<e <1: va chạm không đàn hồi. 2 e. Va chạm không trực diện (va chạm xiên) Giả sử vật 1 đến va chạm vào vật 2 đang đứng yên. v1 Sau va chạm hai vật chuyển động theo hai phương khác HìnhI.6 11
12. nhau và khác với phương ban đầu. Đối với va chạm không trực diện, định luật bảo toàn động lượng có thể viết thành hai phương trình đại số: Ox  m11 vcos 122 m v cos 2 m 11 v cos 122 m v cos 2 Oy  m11 vsin 1 m 22 v sin 2 m 11 v sin 1 m 22 v sin 2 Nếu va chạm là đàn hồi thì động năng cũng được bảo toàn 12 1 2 1 2 1 2 m1 v 1 m 2 v 2 m 1 v 1 m 2 v 2 2 2 2 2 5. Khối tâm của hệ chất điểm a. Vị trí khối tâm Hệ chất điểm m12, m ,... miN ,..., m có vị trí được xác định bằng các vectơ r12, r ,..., riN ,..., r . Có một điểm đặt biệt liên quan đến chuyển động của nó ta gọi là khối tâm. Vị trí của khối tâm được xác định bởi bán kính vectơ rG đối với gốc tọa độ O. mi r i m i r i OG rG với ri OMi (5.1) mMi trong đó, Mm  i là khối lượng của hệ chất điểm. Nếu ta chọn O ở G thì rG 00  m i r i Phân tích thành ba thành phần theo 3 trục của hệ trục Oxyz: m x m y m z x  i i ; y  i i ; z  i i (5.2) G M G M G M với M mi là tổng khối lượng. b. Vận tốc, gia tốc của khối tâm Khối tâm là một khái niệm quan trọng vì rằng chuyển động của hệ chất điểm có thể được biểu diễn một cách đơn giản thông qua chuyển động của khối tâm. Vận tốc và gia tốc của khối tâm được xác định bằng cách lấy đạo hàm theo thời gian của : d 11dr v r mi m v (5.3) Gdt G M i dt M i i 12
13. d 11dr2 a v mi m a (5.4) Gdt G M i dt2 M i i Trong chuyển động tịnh tiến, gia tốc của chuyển động là gia tốc khối tâm của hệ chất điểm: FiG ma (5.5) hay Fx ma Gx và Fy ma Gy Như vậy, khi xét chuyển động tịnh tiến của hệ chất điểm ta chỉ cần xét chuyển động của khối tâm của hệ. 6. Dao động điều hòa của chất điểm - Chọn đối tượng khảo sát là hệ dao động. Xác định các lực tác dụng lên vật của hệ. - Chọn vị trí cân bằng làm mốc để tính thế năng của hệ. Thế năng của hệ bằng tổng thế năng tương ứng với các lực thế tác dụng vào vật và thực hiện công lên vật. Ví dụ: để tìm thế năng của hệ tương ứng với hợp lực F kx , ta sử dụng mối liên hệ sau: x 1 dA Fdx dW W kxdx kx2 tt 0 2 Như vậy, phương trình cơ năng của hệ: 11 W mv22 kx= cons t 22 Đạo hàm 2 vế phương trình trên để được phương trình vi phân: k xx 2 0 với  2 là tần số góc dao động của hệ. m 13
14. CHƯƠNG II: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ CHẤT ĐIỂM GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG DẠNG 1: BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM Phương pháp - Nắm kĩ các dữ kiện của bài toán từ đó phân tích hiện tượng của bài toán (dạng chuyển động của bài toán) - Nêu các ngoại lực cơ học tác dụng lên chất điểm và tính công của các ngoại lực này. - Thiết lập phương trình năng lượng (động năng, thế năng) của hệ. - Khi hệ chỉ chịu tác dụng của lực thế thì cơ năng bảo toàn, khi có sự tham gia của lực không thế thì cơ năng biến thiên. - Nếu trong bài toán có sự thay đổi vận tốc hay độ cao, độ biến dạng lò xo thì sử dụng định lý động năng, thế năng. Bài 1: Viết phương trình chuyển động của một vật rơi nếu kể đến lực cản không khí biết lực cản tỉ lệ với vận tốc vật rơi: Fc kv , trong đó k là hệ số tỉ lệ. Giải Trong chuyển động của vật vì tính đến lực cản nên cơ năng không được bảo toàn. Vật cản sinh công âm cản trở chuyển động rơi của vật. Công nguyên tố của ngoại lực: dA dAc dA p F c dx Pdx mg kv vdt dW dA Định lý động năng dạng đạo hàm: đ do đó: dt dt dv dv 1 mv mg kv v dt (*) dt mg kv m k mg t mg kv 0 do vật rơi nên nghiệm của phương trình (*) có dạng: v C e m k 1 k t mg mg m Khi t 0 thì v 0 nên C1 v 1 e (**) kk kk2 tt dx mgmm mg m g Mặc khác v 1 e x t 2 e C2 dt k k k mg2 Từ điều kiện đầu thì x 0 nên C 2 k 2 14
15. 22k mg m g t m g Vậy phương trình chuyển động của vật rơi là: x t e m (***) k k22 k Nếu viết x theo v thì rút t từ (**) thay vào (***) ta được: m2 g k m x 2 ln 1 v v k mg k Bài 2: Một chất điểm có khối lượng mchuyển động theo khung tròn bán kính R , đồng thời khung tròn quay quanh trục thẳng đứng thẳng vận tốc góc  . Thành lập phương trình chuyển động của chất điểm đối với khung. Bỏ qua ma sát Giải Xét trong hệ quy chiếu gắn với khung tròn là hệ quy chiếu phi quán tính (HìnhII.2). Tại điểm A trên khung chất điểm chịu tác dụng của lực O R α vr quán tính li tâm Fqtl ma l có phương HA chiều từ trái sang phải H r A Fqtl 22 A có độ lớn Fqtl mr m  Rsin  ( là góc xác định vị trí chất P điểm tại A) và trọng lực P . HìnhII.2 A Để viết phương trình vi phân chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu gắn với khung ta dùng định lý động năng dưới dạng vi phân: dWđ dA (1) ds d Vì chất điểm chuyển động tròn trên khung nên: s R v R R dt dt 1 Suy ra: W mR2 2 dW mR 2  d  (2) đđ2 Công nguyên tố của các ngoại lực: dAP Psin ds mgR sin  d  (3) dA Fcos ds m 22 R sin  c os  d  Fqtl qtl Từ (1), (2) và (3) ta viết được phương trình vi phân: mRd2  mgRsin  d  mR  2 2 sin  c os  d  B g 2 H Vậy:  cos  sin  0 α M R O Bài 3: Một ống AB quay với vận tốc  không đổi quanh trục thẳng a đứng . Góc nghiêng của ống AB với đường thẳng đứng bằng không đổi. Lúc đầu chất điểm M cách nằm cách O một đoạn OM0 a A HìnhII.3a 15
16. và có vận tốc v 00 (hình II.3a). Xác định quy luật chuyển động của chất điểm M dọc theo ống và tìm điều kiện chất điểm đứng yên tại M trong ống. Bỏ qua ma sát. Giải Chọn mặt phẳng ( , AB) làm hệ quy chiếu (hệ quy chiếu phi quán tính) N v H Chiều dương từ O đến M (hình II.3b) F α qtl Khảo sát chuyển động của chất điểm M dọc theo ống AB. O P x Lực tác dụng lên chất điểm M: Trọng lực: P mg ; phản lực N ; lực quán tính A 2 Fqtl ma l có độ lớn Fqtl mxsin  có phương MH và HìnhII.3b hướng ra xa tâm H. Lực quán tính Côriolic Fqtc 2 m  v r có hướng vuông góc với vr . Ta thấy Fqtl biến đổi theo x nên để giải cần sử dụng định lý biến thiên động năng dạng vi phân. dWđ dA (1) 1 W mv2 đ 2 Động năng của chất điểm: dWđ mxdx (2) dx vx dt Công nguyên tố của các ngoại lực: dA 0 và dA 0 N Fqtc 22 dA dAPF dA mgcos dx Fqtl sin dx mg cos dx mx  sin dx qtl (3) mx22sin mg cos dx Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: mxdx mx22sin mg cos dx x x22sin g cos 0 Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng: g cos sin tt  sin x 22 C12 e C e  sin trong đó, CC12, là các hằng số được xác định từ các điều kiện đầu. t 0 thì x a,0 v x , khi đó 16
17. g cos a 22 C12 C 1 g cos  sin C12 C a 22 2  sin 0 CC12 sin  sin Vậy chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu phi quán tính được mô ta bằng phương trình: ggcos 1 cos x 2 2 a 2 2 ch  sin t sin 2  sin Vì hàm ch  sin t luôn tăng theo t khi t 0 nên chiều của chuyển động của chất g cos điểm M phụ thuộc vào a 22  sin ggcos cos + Nếu a 0 2 thì chất điểm đi theo chiều từ O đến B. 2sin 2 a sin 2 ggcos cos + Nếu a 0 2 thì chất điểm đi theo chiều từ B đến O. 2sin 2 a sin 2 ggcos cos + Nếu a 0 2 thì chất điểm đứng yên so với AB tại M. 2sin 2 a sin 2 Bài 4: Một vật trượt không vận tốc đầu từ đỉnh một mặt phẳng nghiêng có độ cao H so với mặt ngang.Biết rằng, g hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng thay đổi theo H quy luật sau: x  ()xx HìnhII.4 Trong đó, x là khoảng cách từ đỉnh đến vật trong quá trình chuyển động theo mặt nghiêng (hình II.4). Sau khi đến chân mặt phẳng nghiêng thì vật dừng lại. Biết gia tốc trọng trường là g. Tìm vận tốc lớn nhất của vật trong quá trình chuyển động. Giải Vật chịu tác dụng của các lực: trọng lực P , phản lực N , lực ma sát Fms Khi vật ở vị trí x , hình chiếu của các lực theo trục Ox: Fx mgsin xmg cos với là góc nghiêng của mặt phẳng nghiêng. tan Vận tốc của vật đạt cực đại khi F 0 , tại thời điểm này tọa độ của vật là x x 0 Khi di chuyển được quãng đường L , lực ma sát thay đổi tuyến tính nên độ lớn của công do lực ma sát sinh ra được xác định: 17
18. dA Fms dx xmgcos dx L L xL22 A xmgcos dx mg cos mg cos ms 0 220 Độ giảm thế năng của vật bằng công của lực ma sát: L2 H 2 mgcos H 2 mg cos H 2 mgH mgcos 2 mg 2 2sin 2sin tan 2x0 sin H Từ đó suy ra: x 0 2sin Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng từ đỉnh mặt phẳng nghiêng đến vị trí có tọa độ x0 : mgH mv221 mv mgH mgx sin 2 2 20 2 4 gH Vậy vận tốc cực đại của vật: v 2 Bài 5: Vật m được treo vào một đầu sợi dây nhẹ, không dãn có chiều dài l , đầu kia của dây được treo vào điểm cố định O. Tại O thời điểm ban đầu, sợi dây hợp với phương thẳng đứng góc và vật có vận tốc bằng không. Vật bắt đầu chuyển động xuống β α dưới thì dây treo vướng phải một dây mảnh tại O1 có hướng trực giao với mặt phẳng chuyển động của vật và vị trí của nó được O1 M0 xác định bằng tọa độ cực h OO1 và góc  (hình II.5a). Hãy xác M định giá trị nhỏ nhất của góc để sau khi gặp dây mảnh O1, sợi HìnhII.5a dây treo vật bị cuốn vào nó, đồng thời tìm sự thay đổi của sức căng dây khi dây treo vật gặp dây mảnh tại O1. Bỏ qua độ dày của dây O mảnh tại O1. Giải β v2 Độ cao của vật so với vị trí thấp nhất O1 M0 h0 l(1 c os ) h và r l h l 1 với h= OO1 M v1 h0 hl1 (1 cos ) l h1 2 HìnhII.5b v1 2 g h 0 h 1 2 gl cos cos Muốn cho sợi chỉ quấn lại thì vật tối thiểu phải đến điểm cao nhất: 18
19. mv2 mg 2 v2 gr r 2 mv22 mv Áp dụng BTCN, ta có: 21 mg2 r mgr (1 c os ) 22 v22 v 2 gr 1 c os 21 gr 2 gl cos c os 2 gr 1 c os  h 3 0 2gl cos c os 2 gr 1 c os  l 2 h 33  arccos cos l 22 Vận tốc của vật khi dây treo vừa gặp dây mảnh 2 3 lh v1 2 gl +cos 2 l Sự thay đổi sức căng của dây khi gặp dây mảnh: h 3 T2 mg +cos l 2 v Bài 6: Một bán cầu rỗng bán kính R, mặt trong nhẵn, được giữ cố 0 định trên mặt đất sao cho mặt hở hướng lên trên. Một vật nhỏ ở điểm cao nhất của mặt trong bán cầu và được truyền một vận tốc v0 theo phương tiếp tuyến với miệng bán cầu(hình II.6a). Cho gia tốc trọng trường là g. a) Tìm độ cao nhỏ nhất của quỹ đạo chuyển động của Hình II.6a vật so với mặt đất. b) Tìm vận tốc lớn nhất của vật nhỏ trong quá trình chuyển động. Giải Chuyển động của vật nhỏ trong bán cầu không ma sát nên v0 v0 chỉ chịu tác dụng của trọng lực và phản lực vuông góc từ mặt v0 bán cầu. Vậy mô men động lượng của vật quanh trục đối xứng  của bán trụ và cơ năng được bảo toàn. v a) Xét chuyển động của vật ở vị trí thấp nhất trên quỹ đạo của nó. Ở thời điểm này vật ở vị trí mà véc tơ bán kính vẽ từ HìnhII.6b tâm bán cầu đến vật hợp với phương thẳng đứng góc  và vận 19
20. tốc của vật theo phương thẳng đứng bằng 0. Phương trình bảo toàn cơ năng và bảo toàn mô men động lượng của vật nhỏ đối với trục đối xứng của bán cầu là mv2 mv2 0 mgRcos 22 mvRsin mv0 R v2 16gR22 Giải hệ phương trình được: cos 0 1 1 4gR v4 0 Vậy độ cao nhỏ nhất của quỹ đạo chuyển động của vật so với mặt đất là: v2 16gR22 h R 1 cos R 0 1 1 min 4gv 4 0 b) Tính tốc độ lớn nhất của vật trong quá trình chuyển động Cũng từ nhận xét cơ năng của vật được bảo toàn ta suy ra tốc độ vật đạt cực đại khi vật ở vị trí thấp nhất của quỹ đạo. v2 16 g 2 R 2 v 4 v2 v 2 2 gR cos 0 0 0 2 v2 16 g 2 R 2 v 4 v 00 2 Bài 7: Một khối lập phương đặc (chiều dài cạnh là L ) có khối lượng mbắt đầu trượt từ chân một cái nêm đang đứng yên lên theo mặt phẳng nghiêng của nó. Nêm có khối lượng M , góc của nêm  và mặt nêm nhẵn (hình II.7a). Nêm có thể trượt không ma sát trên mặt sàn ngang. a) Tính vận tốc ban đầu của khối lập phương theo h,,,, m M L và g , sao cho khối lập phương có thể leo lên đến đỉnh của nêm. b) Khối lập phương trôi trở lại chân nêm. Động năng của khối lập phương và của nêm bằng bao nhiêu khi nó h trượt đến chân nêm? θ Giải HìnhII.7a 20