Tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp gián tiếp

Nội dung tài liệu: Tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp gián tiếp

1. CỘNG HÒA XÃ H ỘI CH Ủ NGH ĨA VI ỆT NAM Độc l ập – Tự do – Hạnh phúc THUY ẾT MINH MÔ T Ả GI ẢI PHÁP VÀ K ẾT QU Ả TH ỰC HI ỆN SÁNG KI ẾN TÍNH TH Ể TÍCH KH ỐI ĐA DI ỆN BẰNG PH ƯƠ NG PHÁP GIÁN TI ẾP 1.Tên sáng ki ến: TÍNH TH Ể TÍCH KH ỐI ĐA DI ỆN B ẰNG PH ƯƠ NG PHÁP GIÁN TI ẾP 2. Ngày sáng ki ến được áp d ụng l ần đầu ho ặc áp d ụng th ử: Chuyên đề Tính Th ể Tích Kh ối Đa Di ện B ằng Ph ươ ng Pháp Gián Ti ếp được tác gi ả gửi đă ng trên tạp chí Toán H ọc Và Tuổi Trẻ số 429 (tháng 3 n ăm 2013). Và được áp d ụng vào dạy cho các học sinh lớp 12A7 tr ường THPT L ạng Giang s ố 1 năm học 2013 - 2014 và học sinh các l ớp 12 nh ững n ăm h ọc ti ếp theo cho đến nay. 3. Các thông tin c ần b ảo m ật 4. Mô t ả các gi ải pháp c ũ th ường làm: Để tích th ể tích kh ối chóp và kh ối l ăng tr ụ ta th ường đi tính di ện tích đáy và tính chi ều cao c ủa hình chóp, hình l ăng tr ụ. Tuy nhiên vi ệc xác định chi ều cao và tính chi ều cao đòi h ỏi h ọc sinh ph ải bi ết vận d ụng các ki ến th ức v ề đường th ẳng vuông góc v ới m ặt ph ẳng, hai m ặt ph ẳng vuông góc, các h ệ th ức l ượng trong tam giác. Chính vì v ậy r ất nhi ều h ọc sinh r ất s ợ ph ần th ể tích kh ối đa di ện này
2. 2 5. S ự cần thi ết ph ải áp d ụng gi ải pháp sáng ki ến: Trong nh ững n ăm qua trong các k ỳ thi Đại h ọc – Cao đẳng, kì thi THPT qu ốc gia hay kì thi t ốt nghi ệp THPT năm 2020, thi h ọc sinh gi ỏi c ấp t ỉnh thì bài toán tính th ể tích kh ối đa di ện là m ột câu h ỏi th ường xuyên xu ất hi ện trong các đề thi. Để tính th ể tích kh ối đa di ện ta th ường áp d ụng tính tr ực ti ếp thông qua vi ệc tính di ện tích đáy và chi ều cao c ủa kh ối đa di ện. Vi ệc tính th ể tích kh ối đa di ện b ằng ph ươ ng pháp tr ực ti ếp đòi h ỏi h ọc sinh ph ải xác định được chi ều cao c ủa kh ối đa di ện và tính chi ều cao đó. Vi ệc này làm cho m ột số h ọc sinh g ặp khá nhi ều khó kh ăn do ph ải v ận dụng các ki ến th ức v ề đường th ẳng vuông góc v ới m ặt ph ẳng, hai m ặt ph ẳng vuông góc đã h ọc từ l ớp 11. Khi vi ệc xác định và tính chi ều cao của kh ối đa di ện g ặp khó kh ăn ho ặc kh ối đa di ện c ần tính không ph ải nh ững kh ối đa di ện có công th ức tính th ể tích đã h ọc thì ta s ử d ụng ph ươ ng pháp gián ti ếp. Để tính th ể tích kh ối đa di ện b ằng ph ươ ng pháp gián ti ếp thì h ọc sinh ch ỉ c ần nắm được m ột s ố ki ến th ức c ơ b ản v ề th ể tích kh ối chóp, th ể tích kh ối l ăng tr ụ và t ỷ s ố th ể tích trong kh ối chóp tam giác. L ời gi ải bài toán được trình bày b ằng ph ươ ng pháp gián ti ếp th ường ng ắn g ọn, d ễ hi ểu. 6. M ục đích c ủa gi ải pháp sáng ki ến - Nghiên c ứu, xây d ựng ph ươ ng pháp tính th ể tích kh ối đa di ện không thông qua vi ệc áp d ụng tr ực ti ếp công th ức tính th ể tích. - Rèn luy ện cho h ọc sinh t ư duy m ềm d ẻo, linh ho ạt trong vi ệc suy ngh ĩ gi ải quy ết m ột bài toán. 7. N ội dung 7.1 Thuy ết minh v ề gi ải pháp * Tên gi ải pháp: TÍNH TH Ể TÍCH KH ỐI ĐA DI ỆN B ẰNG PH ƯƠ NG PHÁP GIÁN TI ẾP * N ội dung và các b ước ti ến hành gi ải pháp: Bước 1: Tóm t ắt ki ến th ức c ơ b ản 1) Công th ức tính th ể tích kh ối chóp
3. 3 1 V= Bh ( B là di ện tích đáy, h là chi ều cao). 3 2) Công th ức tính th ể tích kh ối l ăng tr ụ V= Bh ( B là di ện tích dáy, h là chi ều cao). V 3) Cho hai kh ối đa di ện H và H 1 có th ể tích t ươ ng ứng là V và V 1 bi ết = k V1 = ⇒ = và V1 a V ka . 4) Nếu chia kh ối đa di ện H thành các kh ối đa di ện H 1, H 2 , , Hn khi đó ta có = + + + VVV1 2⋯ V n ( V là th ể tích c ủa kh ối đa di ện H, V i là th ể tích c ủa kh ối đa di ện H i i= 1,n ). 5) Cho hình chóp S. ABC , các điểm A′, B ′ , C ′ lần l ượt là các điểm n ằm trên V SA' SB' SC' các c ạnh SA, SB , SC khi đó ta có S.A'B'C' = . . . VS.ABC SA SB SC
4. 4 Bước 2: Xây d ựng ph ươ ng pháp tính  Nếu tính th ể tích kh ối đa diên H bằng ph ươ ng pháp tr ực ti ếp khó kh ăn ta có th ể chia kh ối đa di ện H thành các kh ối đa di ện nh ỏ H 1, H 2, , H n mà vi ệc tính th ể tích c ủa các kh ối đa di ện H i ()i=1, n là đơ n gi ản h ơn. Từ đó suy ra th ể tích kh ối đa di ện H.  Khi bi ết t ỉ s ố th ể tích c ủa 2 kh ối đa di ện H và H’, n ếu vi ệc tính th ể tích kh ối đa di ện H g ặp khó kh ăn ta có th ể tính th ể tích kh ối đa di ện H’ rôi suy ra th ể tích kh ối đa di ện H Bước 3: V ận d ụng ph ươ ng pháp tính th ể tích kh ối đa di ện vào các ví d ụ c ụ th ể Ví d ụ 1 Cho kh ối chóp S . ABC bi ết ∆ABC là tam giác vuông cân t ại B , AC= 2 a , 1 SA⊥ () ABC , SA= a . G ọi I là điểm thu ộc c ạnh SB sao cho SI= SB . Tính th ể 3 tích kh ối t ứ di ện SAIC . Gi ải:
5. 5 ∆ABC vuông cân t ại B có AC = 2 a ⇒ AB= BC = a 2 1 2 ⇒ S∆ = AB.BC = a ABC 2 SA⊥ () ABC ⇒ SA là chi ều cao c ủa hình chóp S.ABC 1 a3 ⇒ V= S .SA= S.ABC3 ∆ ABC 3 V SA SI SC 1 1 3 3 S.AIC = = = 1 a a . . ⇒ VS.AIC V S.ABC = . = VS.ABC SA SB SC 3 3 3 3 9 Ví d ụ 2 Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông c ạnh a , c ạnh bên SA = a , hình chi ếu vuông góc c ủa đỉnh S trên m ặt ph ẳng ()ABCD là điểm AC H thu ộc đoạn th ẳng AC sao cho AH = . G ọi CM là đường cao c ủa tam 4 giác SAC . Ch ứng minh r ằng M là trung điểm c ủa SA và tính th ể tích kh ối t ứ di ện SMBC theo a . Gi ải:
6. 6 AC a 2 AH = = 4 4 SH⊥ ( ABCD ) ⇒ SH⊥ AC ⇒△SAH , △SHC vuông t ại H a 14 ⇒ SH= SA2 − AH 2 = 4 ⇒ SC= SH2 + HC 2 = a 2 ⇒ SC= AC⇒△ SAC cân t ại C mà CM là đường cao tam giác SAC nên M là trung điểm c ủa SA . V SM 1 1 S. MBC = = ⇒ = Ta có VS. MBC V S . ABC VS. ABC SA 2 2 1 1a2 a 14 a 3 14 mà V=. S∆ . SH = .. = (đvtt) S. ABC3 ABC 3 2 4 24 1a3 14 Suy ra V= V = (đvtt) S. MBC2 S . ABC 48 Ví d ụ 3 Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, có th ể tích b ằng 2. Gọi M, N theo th ứ tự là trung điểm c ủa SA, SB . Tính th ể tích kh ối chóp S. CDMN . Gi ải:
7. 7 = + Ta có: VSCDMN. V SCDM . V SCMN . . V SM 1 1 11 11 S. CDM = = ⇒ = = == Ta có VS. CDM V S . CDA. V S . ABCD .2 . VS. CDA SA 2 2 22 42 VS. CMN SM SN 1 1 1 Ta có =. = . = VS. CAB SA SB 2 2 4 1 11 11 ⇒V=. V = . V == .2 . S. CMN4 S . CAB 42 S . ABCD 84 1 1 3 Suy ra V = + = . S. CDMN 2 4 4 Ví d ụ 4 Cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình ch ữ nh ật, AB= SA = a , AD= a 2 . SA vuông góc v ới đáy. G ọi M, N lần l ượt là trung điểm c ủa AD và SC , g ọi I là giao điểm c ủa BM và AC . Tính th ể tích kh ối t ứ di ện ANIM theo a. Gi ải: Gọi O là giao điểm c ủa AC và BD ⇒ O là trung điểm AC . Ta có I là tr ọng tâm c ủa tam giác ABD , do đó AI2 AI 1 = ⇒ = AO3 AC 3
8. 8 V AI AM 1 1 1 nên AIMN =. = . = (1) VACDN ACAD 3 2 6 V NC 1 Mặt khác ACDN = = (2) VACDS SC 2 V 1 Từ (1) và (2) suy ra AIMN = VACDS 12 1 12a a a 3 2 Mà V=. SAS .∆ = a . = (đvtt) SACD3 ACD 32 6 1a3 2 Vậy V=. V = (đvtt). AIMN12 SACD 72 Ví d ụ 5 Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình ch ữ nh ật ABCD , AB=2, a BC = a , SA ==== SB SC SD a 2 . E là điểm thu ộc c ạnh SC , 1 SE= 2EC , F là điểm thu ộc c ạnh SD , SF= FD . Tính th ể tích kh ối đa di ện 3 SABEF . Gi ải: 2 SABCD = AB.BC = 2a
9. 9 Áp d ụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABD ta có BD= AB2 + AD 2 = a 5 1 a 5 Gọi O= AC ∩ BD ⇒ O là trung điểm c ủa AC và BD ⇒ BO= AC = 2 2 Xét tam giác SBD cân t ại S có SO là trung tuy ến ⇒ SO đồng th ời là đường cao c ủa ∆SBD ⇒ SO⊥ BD . Ch ứng minh t ươ ng t ự ta có SO⊥ AC . Suy ra SO⊥ ( ABCD ) ⇒ SO là đường cao c ủa hình chóp S. ABCD . 2 2   =2 − 2 = a5 a3 SO SB BO ()a2-  = 2  2 1 1 3 = = 2 a 3 a VS.ABCD S ABCD .SO .2a . = 3 3 2 3 V SASBSE2 2 1 3 S.ABE = = = = = a ..⇒ VS.ABE V S.ABC V S.ABCD (1) VS.ABC SASBSC3 3 3 3 3 V SA SE SF 2 1 1 1 1 3 S.AEF = = = = = = a . . . ⇒ VS.AEF V S.ACD V S.ABCD (2) VS.ACD SA SC SD 3 4 6 6 12 12 3 3 3 3 = + = a a 5a Từ (1) và (2) ta có VSABEF V S.ABE V S.AEF + = 33 12 3 12 3 Ví d ụ 6 Cho hình l ập ph ươ ng ABCD.’’’ A B C D ’ cạnh a. G ọi M là trung điểm c ủa cạnh BB '. M ặt ph ẳng ( A’ MD ) cắt hình l ập ph ươ ng thành hai kh ối đa di ện. Tính t ỷ s ố th ể tích c ủa hai kh ối đã di ện trên. Gi ải:
10. 10 Gọi N là giao điển c ủa A' M và AB , K là giao điểm c ủa DN và BC . ⇒ Mặt ph ẳng ()A’ MD cắt hình l ập ph ươ ng ABCD .’’’’ A B C D thành hai kh ối đa di ện A ’ MKCDAB và kh ối đa di ện A ’ B ’ C ’ D ’ MKCD . a M là trung điểm c ủa BB ' ⇒ BM = 2 ∆BMN = ∆ B'MA' (Vì Bɵ = B' = 90 o , BM = BM ' , BMN = B' MA ' ) ⇒ BN = A'B' = a a ∆BNK = ∆ CDK (Vì N = D , BN= CD = a , B = C = 90 o ) ⇒ BK= CK = 2 1 a3 V= BM. BN . BK = B. MNK 3 12 1 2 a3 V=AA'. AN . AD = A. A ' ND 3 3 2a3 a 3 7 a 3 V= V + V ⇒V= V − V =−= AAND.' AMKDAB ' BMNK . AMKDAB' AAND .' BMNK . 3 12 12 Th ể tích kh ối l ập ph ươ ng ABCD .'''' A B C D bằng a3
11. 11 = + VABCDABCD.'''' V AMKDAB ' V ABCDMKCD '''' 7a3 5 a 3 ⇒V= V − Va =−=3 A'''' B C D MKCD ABCD .'''' A B C D A ' MKDDAB 12 12 VA' MKCDAB 7 ⇒ = . VA' B ' C ' D ' MKCD 5 Ví d ụ 7 Cho hình chóp O . ABC có OA, OB , OC đôi m ột vuông góc v ới nhau, OA= a, OB = b , OC = c ; OA', OB ', OC ' lần l ượt là đường cao c ủa các tam giác OBC, OAC , OAB . Tính th ể tích c ủa kh ối chóp O . A ' B ' C ' . Gi ải: 1 abc Th ể tích kh ối chóp O . ABC là V= OAOB. . OC = O. ABC 3 3 Ta có OA⊥ OBOA, ⊥ OCOB , ⊥ OC ⇒ các tam giác ∆OAB, ∆ OAC , ∆ OBC vuông t ại O .
12. 12 Áp d ụng định lý Pitago ta có AC= a2 + c 2 , AB= a2 + b 2 , BC= b2 + c 2 1 1 1 Xét ∆OBC vuông t ại O có OA ' là đường cao ⇒ = + OA'2 OB 2 OC 2 OB2. OC 2 b 22 c ⇒ OA '2 = = . OB2+ OC 2 b 22 + c Áp d ụng định lý Pitago trong tam giác vuông OA' C ( OA' C = 90 o ) ta có c2 OC2= OA' 2 + CA ' 2 ⇒ CA'= OC2 − OA ' 2 = . b2+ c 2 Ch ứng minh t ươ ng t ự, ta có c2 CB ' = a2+ c 2 a2 AB ' = a2+ c 2 a2 AC ' = a2+ b 2 b2 BC ' = a2+ b 2 b2 BA ' = b2+ c 2 V V CO CA' CB ' c 4 OCAB.''= COAB .'' =. . = 2+ 2 2 + 2 VO. ABC V C . OBA CO CB CA ()()b c a c c4 ⇒V= V O.'' CA B()()b2+ c 2 a 2 + c 2 O . ABC Ch ứng minh t ươ ng t ự ta có : a4 V= V O.'' AB C()()a2+ b 2 a 2 + c 2 O . ABC b2 V= V O.'' BA C()()a2+ b 2 b 2 + c 2 O . ABC Th ể tích kh ối chóp O.' A B ' C ' bằng
13. 13 = −() + + VOABC.''' V OABC . V OCAB .'' V OABC .'' V OBAC .''    a4 b 4 c 4  abc =−1  + +   .  ()()2222++()() 2222 ++()() 2222 ++    abac abbc acbc   3 Ví d ụ 8 (Trích mã đề 101 đề thi THPT qu ốc gia n ăm 2017) Cho t ứ di ện đều ABCD có c ạnh a. G ọi M, N lần l ượt là trung điểm c ủa các cạnh AB, BC và E là điểm đối x ứng v ới B qua D . M ặt ph ẳng ()MNE chia kh ối t ứ di ện ABCD thành hai kh ối đa di ện, trong đó kh ối đa di ện ch ứa đỉnh A có th ể tích V . Tính V . 7 2 a3 11 2 a3 13 2 a3 2a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 216 216 216 18 Gi ải: a3 2 Tứ di ện ABCD có c ạnh a ⇒V = . ABCD 12 Xét tam giác EAB có EM, AD là đường trung tuy ến ⇒ I= AD ∩ EM là tr ọng EI 2 tâm c ủa ∆MAB ⇒ = . EM 3 EJ 2 Ch ứng minh t ươ ng t ự J= EN ∩ CD là tr ọng tâm c ủa ∆EBC ⇒ = . EN 3
14. 14 1 1 1 1 Ta có V= . S∆ . d() E , () BMN =.2d() D ,() ABC . S∆ = V . E. BMN3 BMN 3 4ABC 2 ABCD V ED EI EJ 122 2 2 E. D IJ = = = ⇒ = . . .. VE. D IJ V E . BMN VE. BMN EBEMEN 233 9 9 7 71 7 ⇒VVVV=−= =. V = V . BDMNIJ E. BMN E . D IJ9 E . BMN 9 2 ABCD 18 ABCD 11 11 2a3 11 2 a 3 Ta có VV= = VV − = V =. = . ACMNIJ ABCD BDMNIJ18 ABCD 18 12 216 Ch ọn đáp án B. Ví d ụ 9 (Trích đề tham kh ảo thi THPT qu ốc gia n ăm 2019) Cho kh ối l ăng tr ụ ABC. A′ B ′ C ′ có th ể tích b ằng 1. G ọi M , N lần l ượt là trung điểm c ủa các đoạn th ẳng AA ′ và BB ′. Đường th ẳng CM cắt đường th ẳng C′ A ′ tại P , đường th ẳng CN cắt đường th ẳng C′ B ′ tại Q . Th ể tích c ủa kh ối đa di ện lồi A′ MPB ′ NQ bằng 1 1 2 A. 1. B. . C. . D. . 3 2 3 Gi ải: 1 12 1 Ta có V= V′′ =. V ′′′ = . C. ABNM2 C . A B BA 23 ABC . A B C 3
15. 15 2 Suy ra V ′ ′ ′ = . CMNA B C 3 ′ ′ ′ ′ = Tam giác C QP đồng d ạng v ới tam giác C B A với t ỉ số 2 nên SCQP′ 4 S ABC ′′′ . =1 = 1 == 4 Suy ra VCCQP′. dS()()′′′ . CQP ′ 4. dSV()() ′′′ . ABC ′′′ 4. CABC. ′′′ . 3CABC; 3 CABC ; 3 4 2 2 Ta được V′′= V ′ − V ′′′ =−= . A MPB NQ CC PQ CMNA B C 3 3 3 Ch ọn đáp án D. Ví d ụ 10 (Trích mã đề 108 đề thi THPT qu ốc gia n ăm 2019) Cho l ăng tr ụ ABC. A′ B ′ C ′ có chi ều cao là 8 và đáy là tam giác đều c ạnh b ằng 4 . G ọi M , N và P lần l ượt là tâm c ủa các m ặt bên ABB′ A ′ , ACC′ A ′ và BCC′ B ′ . Th ể tích c ủa kh ối đa di ện l ồi có các đỉnh là các điểm A , B , C , M , N , P bằng 40 3 28 3 A. . B. . C. 16 3 . D. 12 3 . 3 3 Gi ải:
16. 16 42 . 3 Ta có V= V ′ ′ ′ =8. = 32 3 , g ọi h= d( A′,( ABC )). ABCA B C 4 1 h V Ta có V=. . S ∆ = . MABC3 2 ABC 6 1 h S V V =. . ∆ABC = . MNPC 3 2 4 24 1 1 d( A′,( BCCB ′ ′ )) S V V V=.,. dMPBC()() S = . BCCB′′ == ABCCB ′. ′′ . MBCP3 PBC 32 4812 V Tươ ng t ự V = . MNAC 12 3V Vậy V= V + V + V + V == 12 3 . MNPABC MABC MNAC MNPC MBCP 8 Ch ọn đáp án D. Ví d ụ 11 (Trích mã đề 101 đề thi h ọc sinh gi ỏi t ỉnh B ắc Giang n ăm h ọc 2019- 2020) Cho kh ối t ứ di ện đều ABCD cạnh a. G ọi M, N , P lần l ượt là tr ọng tâm c ủa các tam giác ABC, ABD , ACD . Tính th ể tích V của kh ối chóp A. MNP . a3 2 2a3 2 a3 2 a3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 162 81 72 144 Gi ải: a3 2 Th ể tích c ủa t ứ di ện đều c ạnh a là V = . 12 Gọi E, F , G lần l ượt là trung điểm c ủa BC, BD , CD .
17. 17 V S 1 1 AEFG= EFG = ⇒ = Ta có: VAEFG V ABCD VABCD S BCD 4 4 V AM AN AP 8 Và AMNP =. . = VAEFG AE AE AG 27 8 81 2 222a3 a 3 ⇒V== V. V == V . = . AMNP27 AEFG 274 ABCD 27 ABCD 2712 162 Ch ọn đáp án A. Bài t ập t ươ ng t ự Bài t ập t ự lu ận Bài 1 (Đề thi ĐH kh ối D – 2006 ) Cho kh ối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều c ạnh a, SA= 2 a và SA vuông góc v ới đáy. G ọi M, N lần l ượt là hình chi ếu vuông góc c ủa A lên các đường th ẳng SB và SC . Tính th ể tích kh ối chóp A . BCNM theo a.
18. 18 Bài 2 (Đề thi ĐH kh ối B – 2008 ) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang, BAD = ABC = 90 0 , AB== BC aAD, = 2, aSA ⊥ ( ABCD ) và SA= 2 a . G ọi M, N lần l ượt là trung điểm c ủa SA và SD . Tính th ể tích kh ối chóp S. BCNM theo a. Bài 3 Cho hình nón S. ABCD có đáy là hình ch ữ nh ật, đường th ẳng SA vuông góc v ới m ặt ph ẳng ( ABCD ), G là tr ọng tâm c ủa tam giác SBD , m ặt ph ẳng ( ABG ) cắt SC tại M , m ặt ph ẳng ( ABG ) cắt SD tại N . Tính th ể tích kh ối chóp S. ABMN , bi ết SA= AB = a , góc gi ữa đường th ẳng AM và m ặt ph ẳng ( ABCD ) bằng 30 o. Bài 4 Cho hình chóp O. ABC có OA, OB , OC đôi m ột vuông góc v ới nhau, OA= a, OB = b , OC = c , OA', OB ', OC ' lần l ượt là các đường phân giác trong của các △OBC, △ OAC , △ OAB . Tính th ể tích c ủa kh ối chóp O.' A B ' C ' Bài 5 Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc v ới m ặt ph ẳng ( ABCD ), SA= a 3 . G ọi H, K lần l ượt là hình chi ếu vuông góc c ủa điểm A trên các c ạnh SB, SD . M ặt ph ẳng ( AHK ) cắt SC tại I . Tính th ể tích c ủa kh ối chóp S. AHIK . Bài 6 (Trích mã đề 101 đề thi h ọc sinh gi ỏi t ỉnh B ắc Giang n ăm h ọc 2019-2020) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình ch ữ nh ật, AB=2 cm , AD = 3 cm , SA vuông góc v ới m ặt ph ẳng đáy ( ABCD ) và SA= 4 cm . Lấy điểm E bất kì thu ộc c ạnh SA sao cho AE= x với 0<x < 4 cm . a) Tính di ện tích thi ết di ện c ủa hình chóp S.ABCD cắt b ởi m ặt ph ẳng (EBC ) theo x. b) Xác định x để m ặt ph ẳng (EBC ) chia kh ối chóp S.ABCD thành hai ph ần có th ể tích b ằng nhau.
19. 19 Bài 7 (Trích mã đề 101 đề thi h ọc sinh gi ỏi t ỉnh B ắc Giang n ăm học 2018-2019) Cho l ăng tr ụ ABC.' A B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông t ại A . Hình chi ếu của A' trên m ặt ph ẳng ( ABC ) là tr ọng tâm c ủa tam giác ABC . Bi ết BB'= AC = a 3, AB = a . Tính th ể tích kh ối chóp C.'' A B BA . Bài 8 (Trích đề thi h ọc sinh gi ỏi t ỉnh Điện Biên n ăm h ọc 2018-2019) Cho hình chóp t ứ giác đều S. ABCD , có AB= a, SA = a 3 . G ọi O là giao điểm của AC và BD , g ọi G là tr ọng tâm tam giác SCD . Tính th ể tích kh ối chóp S.OGC . Bài t ập tr ắc nghi ệm Câu 1. (Trích mã đề 103 đê thi THPT qu ốc gia năm 2019) Cho lăng trụ ABC.' A B ' C ' có chiều cao bằng 6 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi M, N, P lần lượt là tâm của các mặt bên ABB' A ', ACC ' A ', BCC ' B ' . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm ABCM,,, , N , P bằng A. 9 3 . B. 10 3 . C. 7 3 . D. 12 3 . Câu 2. (Trích đề thi tham kh ảo t ốt nghi ệp THPT 2020) Cho hình h ộp ABCD. A′ B ′ C ′ D ′ có chi ều cao b ằng 8 và di ện tích đáy b ằng 9. Gọi M, N , P và Q lần l ượt là tâm c ủa các m ặt bên ABBA′′, BCCB ′′ ,DD C ′′ C và DAA′ D ′ . Th ể tích c ủa kh ối đa di ện l ồi có các đỉnh là các đỉnh ABCDM,,,, ,, N P và Q bằng A. 27 . B. 30 . C. 18 . D. 36 . Câu 3. (Trích mã đề 106 đề thi h ọc sinh gi ỏi t ỉnh B ắc Giang n ăm h ọc 2018 – 2019) Cho kh ối l ăng tr ụ tam giác ABC.' A B ' C ' có th ể tích V . G ọi I và J lần l ượt là trung điểm c ủa hai c ạnh AA ' và BB '. Khi đó th ể tích c ủa kh ối đa di ện ABCC' IJ là
20. 20 3V 2V 4V 3V A. . B. . C. . D. . 4 3 5 5 Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. G ọi M là trung điểm của SA , N là điểm trên c ạnh SB sao cho SN = 2NB . Mặt ph ẳng qua M,N cắt c ạnh V SD và SC lần l ượt t ại Q và P. T ỉ số S. MNPQ lớn nh ất b ằng VS. ABCD 2 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 5 3 4 8 Câu 5. Cho t ứ di ện ABCD có I là trung điểm c ủa AB , J thu ộc đoạn AC 3 th ỏa mãn 2AJ= JC . Bi ết r ằng th ể tích kh ối tứ di ện ABCD là 6a . Th ể tích c ủa kh ối đa di ện BCDJI là 5a3 A. 2a3 . B. 5a3 . C. 3a3 . D. . 6 Câu 6. Cho hình chóp S. ABC . Gọi (α ) là m ặt ph ẳng qua A và song song v ới SM BC . (α ) cắt SB , SC lần l ượt t ại M , N . Tính t ỉ số bi ết (α ) chia kh ối SB chóp thành hai ph ần có th ể tích b ằng nhau. 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 3 2 2 2 Câu 7. Cho hình chóp t ứ giác đều S. ABCD . G ọi (α ) là m ặt ph ẳng qua A , tr ọng tâm G của tam giác SBC và song song v ới BC chia kh ối chóp thành hai ph ần. Tính t ỉ số th ể tích gi ữa ph ần bé và ph ần l ớn c ủa hai ph ần đa di ện trên. 3 4 2 3 A. . B. . C. . D. . 5 5 3 4 Câu 8. Cho hình chóp S. ABCD . G ọi A', B ', C ', D ' lần l ượt là trung điểm c ủa SA , SB , SC, SD . Tính t ỷ số k của th ể tích kh ối chóp S.'' A B C ' D ' chia cho th ể tích kh ối chóp S. ABCD . 1 1 1 1 A. k = . B. k = . C. k = . D. k = . 2 4 8 16