Đề cương ôn thi học kì II Toán 11 - Sở GD&ĐT Bắc Giang

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn thi học kì II Toán 11 - Sở GD&ĐT Bắc Giang

1. Nội dung thi HK2 theo CT Sở Bắc Giang Nội dung 1: Các quy tắc tính xác suất Câu 1: ĐN biến cố giao? Biến cố hợp? Biến cố độc lập? Cho 2 biến cố A và B +) Biến cố AB: “A và B đồng thời xảy ra” được gọi là biến cố giao của 2 biến cố A và B +) Biến cố A B : “A xảy ra hoặc B xảy ra” được gọi là biến cố hợp của 2 biến cố A và B +) Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia. Nếu cặp biến cố A, B độc lập thì các cặp biến cố A, B ; A, B ; A, B cũng độc lập. Câu 2: Công thức cộng xác suất cho 2 biến cố xung khắc? Công thức cộng xác suất cho 2 biến cố bất kì? Công thức nhân xác suất cho 2 biến cố độc lập? +) Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì PA  B PA PB +) Với 2 biến cố A, B bất kì ta có PA  B PA PB PAB +) Nếu hai biến cố A và B độc lập thì PAB PAPB . Nội dung 2: Mũ và lôgarit Câu 1: ĐN luỹ thừa với số mũ nguyên? Các tính chất? ĐN căn bậc n? Các tính chất? ĐN luỹ thừa với số mũ hữu tỉ? Các tính chất? Các tính chất của luỹ thừa với số mũ thực? +) Ta có an a. a ... a (tích của n số a) với mọi a thuộc R và n nguyên dương; 1 a0 1 với mọi a khác 0; a n với a khác 0 và n nguyên dương an Luỹ thừa với số mũ nguyên có đầy đủ các tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên dương mn n mnmn a mn n nn a a mn mn a. a a ;n a ; ab a .; b n ; a a a b b Nếu a 1 thì am a n m n; Nếu 0 a 1 thì am a n m n +) Căn bậc n của số thực a là các số thực b sao cho bn a . Căn bậc n có một số tính chất là n a a n n n n na. n b n ab ; n ; n k a nk a ; a a khi n lẻ; a a khi n chẵn n b b Khi n lẻ thì n a có nghĩa với mọi a; Khi n chẵn thì n a có nghĩa khi a 0 m m +) Cho số hữu tỉ r với n nguyên dương và m nguyên. Với a dương thì ta có ar an n a m n Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ có đầy đủ các tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên +) Với ;  là các số thực bất kì và a, b dương ta có 1
2.   a   a a   a. a a ; a ; ab a .; b ; a a a b b Nếu a 1 thì a a  ; Nếu 0 a 1 thì am a n m n Lưu ý: Xét luỹ thừa của a với số mũ là a +) Nếu nguyên dương thì a có nghĩa với mọi a +) 0 hoặc nguyên âm thì a có nghĩa khi a 0 +) Nếu không nguyên thì a có nghĩa khi a 0 Câu 2: ĐN lôgarit? Các tính chất ban đầu về lôgarit? Các quy tắc tính lôgarit và hệ quả? Công thức đổi cơ số và hệ quả? Số e? KN lôgarit tự nhiên và lôgarit thập phân? +) Định nghĩa lôgarit Cho 0 a 1 và b 0. Lôgarit cơ số a của b là số thực sao cho a b và kí hiệu là loga b Vậy ta có loga b a b +) Các tính chất ban đầu về lôgarit loga b loga 1 0;log aa 1;log a a ; a b (với ĐK cơ số dương, khác 1 và biểu thức dưới dấu lôga phải dương) +) Các quy tắc tính lôgarit Với 0 a 1 và b1, b 2 dương ta có loga b1 b 2 log a b 1 log a b 2 b1 Với 0 a 1 và b1, b 2 dương ta có loga log ab1 log a b 2 b2 Với 0 a 1 và b dương, là số thực bất kì ta có logab log a b Hệ quả suy ra: 1 1 log b . b ... b log b log b ... log b ; log log b ; logn b log b a1 2 n a 1 a 2 a n ab a an a +) Công thức đổi cơ số logc b Với 0 a , c 1 và b 0 ta có loga b logc a Hệ quả suy ra 1 logbc .log log c ;log b log ba ; logbc c log b a a b aa a n 1 +) Số e là số vô tỉ xấp xỉ 2,71828 và là kết quả của giới hạn lim 1 n n +) Lôgarit tự nhiên của b là lôgarit cơ số e của b, kí hiệu là lnb . Tức là loge b ln b 2
3. +) Lôgarit thập phân của b là lôgarit cơ số 10 của b, kí hiệu là logb . Tức là log10 b log b Câu 3: ĐN hàm số mũ? Các tính chất cơ bản? ĐN hàm số lôgarit? Các tính chất cơ bản? +) Hàm số cho bởi công thức y a x với 0 a 1 được gọi là hàm số mũ, a gọi là cơ số +) Các tính chất cơ bản của hàm số mũ Tập xác định của hàm số là D = R Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1, hàm số nghịch biến trên R nếu 0 a 1 Đồ thị của hàm số luôn nằm trên trục Ox, luôn đi qua các điểm 0;1 và 1;a Tập giá trị của hàm số là T 0; +) Hàm số cho bởi công thức y loga x với 0 a 1 được gọi là hàm số lôgarit, a gọi là cơ số +) Các tính chất cơ bản của hàm số lôgarit Tập xác định của hàm số là D 0; Hàm số đồng biến trên 0; nếu a > 1, hàm số nghịch biến trên 0; nếu 0 a 1 Đồ thị hàm số luôn nằm bên phải trục Oy, luôn đi qua điểm 1;0 và a;1 Tập giá trị của hàm số là ; Câu 4: PT mũ cơ bản? Cách giải? PT lôgarit cơ bản? Cách giải? Một số biến đổi tương đương thường dùng để giải các PT mũ và lôgarit? +) PT mũ cơ bản là PT có dạng ax b với 0 a 1 +) Cách giải: Nếu b 0 thì PT vô nghiệm Nếu b 0 thì PT có nghiệm duy nhất là x loga b +) PT lôgarit cơ bản là PT có dạng loga x b với 0 a 1 +) Cách giải: Với mọi b thì PT luôn có nghiệm duy nhất là x ab +) Một số biến đổi tương đương thường dùng để giải PT mũ và lôgarit f x a b f x loga b với 0 a 1 và b 0 au a v uv với u, v là các hàm biến x và 0 a 1 b loga f x b f x a với 0 a 1 và b là số thực bất kì logau log a vuv với u 0; v 0 và 0 a 1 v 0 logau log a v với 0 a 1 (ĐK v 0 có thể được thay bằng ĐK u 0 ) u v 3
4. Câu 5: BPT mũ cơ bản? Cách giải? BPT lôgarit cơ bản? Cách giải? Một số phép biến đổi tương đương thường dùng để giải BPT mũ và lôgarit? +) BPT mũ cơ bản là các BPT có dạng ax b hoặc ax b hoặc ax b hoặc ax b với 0 a 1 và b bất kì +) Cách giải: Ta nói cách giải BPT ax b (1). Các BPT khác được giải tương tự TH1: Nếu b 0 thì BPT (1) vô nghiệm x x log b x loga b khi a 1 TH2: Nếu b 0 thì a b a a a x loga b khi 0 a 1 +) BPT lôgarit cơ bản là các BPT có dạng loga x b hoặc loga x b hoặc loga x b hoặc loga x b +) Cách giải: Ta nói cách giải BPT loga x b (1). Các BPT khác giải tương tự 0 x ab khi a 1 Ta có logx b log x log ab a a a b x a khi 0 a 1 +) Một số phép biến đổi tương đương thường dùng để giải BPT mũ và lôgarit u v u v khi a 1 a a u v khi 0 a 1 0 f x ab khi a 1 logf x b log f x log ab a a a b f x a khi 0 a 1 0 u v khi a 1 logau log a v u v0 khi 0 a 1 (với dấu ,, được giải tương tự) Nội dung 3: Quan hệ vuông góc Câu 1: ĐN góc giữa 2 đường thẳng? PP xác định? ĐN 2 đường thẳng vuông góc? +) Góc giữa 2 đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng a', b ' cùng đi qua điểm O nào đó và lần lượt song song với a và b, kí hiệu là a, b Tức là a, b a ',' b với a'// a ; b '// b và a', b ' cắt nhau +) PP xác định góc giữa 2 đường Ta thường thực hiện theo quy tắc thay thế sau a, b a ,' b với b'/ / b và b' cắt a a', b với a'/ / a và a' cắt b 4
5. a', b ' với a'// a ; b '// b và a' cắt b' +) Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900 , kí hiệu là a b Tức là a b a, b 900 Câu 2: ĐN đường thẳng vuông góc với mặt phẳng? PP thường làm để chứng minh đường vuông góc với mặt? Một số liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc? +) Đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu nó vuông góc với mọi đường nằm trong (P), kí hiệu là  P hoặc P  Vậy nếu  P thì suy được với góc với mọi đường nằm trong (P) +) PP thường làm để chứng minh đường vuông góc với mặt Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) ta chứng chứng d vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong (P) d a; d  b Tức là a Pb;  P  d P a b I +) Một số liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc a Pb ;  P ; a và b phân biệt a// b d Pd ;  Q ; (P) và (Q) phân biệt P // Q dPP ; // Q  dQ d Pdd ,//'  d ' Q Câu 3: ĐN phép chiếu vuông góc? Tính chất của phép chiếu vuông góc? Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng? +) Phép chiếu vuông góc là phép chiếu song song có phương chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu +) Phép chiếu vuông góc có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song. Ví dụ như hình chiếu của 3 điểm thẳng là 3 điểm thẳng hàng +) Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) TH1: d P thì góc giữa d với (P) bằng 900 TH2: d không vuông góc với (P) thì góc giữa d với (P) là góc giữa d với d ', trong đó d ' là hình chiếu của d trên (P) Câu 4: ĐN góc giữa 2 mặt phẳng? PP thường làm để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc? Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc? ĐN hình chóp đều và các tính chất cơ bản của nó? ĐN hình lăng trụ đứng, hình lăng trụ đều và các tính chất suy ra? ĐN hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương và các tính chất suy ra? +) Góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với nó. 5
6. Tức là P ,, Q a b với a Pb ,  Q +) PP thường làm để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc Ta chứng minh trong mặt này có một đường vuông góc với mặt kia hoặc ngược lại a P Tức là P  Q a Q +) Tính chất của 2 mặt phẳng vuông góc P  Q P  R P Q a  Q và QR  R a P P Q a  +) Hình chóp là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Tính chất cơ bản là Hình chóp đều có chân đường cao kẻ từ đỉnh trùng với tâm đáy Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với đáy các góc bằng nhau Các mặt bên của hình chóp đều cũng tạo với đáy các góc bằng nhau +) Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy. Suy ra các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật +) Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Suy ra các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau +) Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên cuông góc với đáy. Suy ra các mặt bên của hình hộp đứng là hình chữ nhật và 2 đáy là hình bình hành +) Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật. Suy ra hình hộp chữ nhật có các mặt đều là hình chữ nhật. Hình hộp chữ nhật xác định khi biết độ dài 3 cạnh xuất phát từ 1 đỉnh và được gọi là 3 kích thước của hình hộp chữ nhật. Giả sử 3 kích thước là abc,, thì đường chéo của hình hộp là a2 b 2 c 2 +) Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có các mặt là hình vuông. Hình lập phương cạnh a có độ dài đường chéo là a 3 . Câu 5: ĐN hình khoảng cách từ điểm đến đường, từ điểm đến mặt? ĐN k/c giữa đường song song với đường, giữa mặt song song với mặt, giữa đường song song với đường? ĐN đường vuông góc chung, đoạn vuông góc chung và khoảng cách của 2 đường chéo nhau? PP xác định hình chiếu của điểm trên mặt? PP xác định đoạn vuông góc chung của 2 đường chéo nhau và vuông góc với nhau? * ĐN hình khoảng cách từ điểm đến đường, từ điểm đến mặt? +) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng là: dA , AH với H là hình chiếu của A trên (điểm H là giao điểm của với mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với ) +) K/c từ điểm A đến (P) là: dAP , AH với H là hình chiếu của A trên (P) 6
7. (điểm H là giao điểm của đường thẳng đi qua A vuông góc với (P) và mặt phẳng (P)) * ĐN k/c giữa đường song song với đường, giữa mặt song song với mặt, giữa đường song song với đường? +) Cho đường thẳng a song song với (P). Khi đó daP ,, dAP với A bất kì thuộc a +) Cho mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q). Khi đó dPQ ,,, dAQ dBP với A bất kì thuộc (P), B bất kì thuộc (Q) +) Cho đường thẳng a song song với đường thẳng b. Khi đó d a,,, b d A b d B a với A bất kì thuộc a, B bất kì thuộc b * ĐN đường vuông góc chung, đoạn vuông góc chung và khoảng cách của 2 đường chéo nhau? Cho 2 đường thẳng a và b chéo nhau. Khi đó có duy nhất đường thẳng vừa cắt, vừa vuông góc với cả a và b. Gọi A là giao điểm của với a và B là giao điểm của với b +) Đường thẳng được gọi là đường vuông góc chung của a và b +) Đoạn AB được gọi là đoạn vuông góc chung của a và b +) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng a và b là độ dài đoạn vuông góc chung * PP xác định hình chiếu của điểm trên mặt Giả sử cần xác định hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (P) B1: Tìm hoặc dựng mặt phẳng (Q) chứa điểm A và vuông góc với (P) B2: Xác định giao tuyến của (Q) và (P) B3: Trong mặt phẳng (Q), dựng AH  tại H B4: Khẳng định H là hình chiếu của A trên (P) * PP xác định đoạn vuông góc chung của 2 đường chéo nhau và vuông góc với nhau? Giả sử a và b chéo nhau đồng thời vuông góc với nhau. Để dựng đoạn vuông góc chung của a và b thì ta thường làm như sau B1: Tìm hoặc dựng mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b (hoặc thao tác ngược lại là tìm mặt chứa b và vuông góc với a) B2: Tìm giao điểm B của (P) với b B3: Trong (P), dựng BA vuông góc với a tại A B4: Khẳng định AB là đoạn vuông góc chung của a và b Câu 6: Định hướng PP giải với câu hỏi tính khoảng cách từ điểm đến mặt? Định hướng PP giải với câu hỏi tính khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau? * Định hướng PP giải với câu hỏi tính khoảng cách từ điểm đến mặt Giả sử cần tính d A, P Cách 1: Tính trực tiếp 7
8. Ta cần dựng được hình chiếu H của điểm A trên (P). Khi đó dAP , AH Cách 2: Tính gián tiếp Khi việc dựng hình chiếu của A trên (P) gặp khó khăn thì nghĩ đến tính gián tiếp Ta thường dùng một số quy tắc thay thế như sau +) dAP ,, daP với a là đường thẳng đi qua A và song song với (P) = dB , P với B là điểm thuộc a và dễ dựng được hình chiếu của nó trên (P) d A, P AI +) Nếu AB cắt (P) tại I thì const k dAP ,., kdBP dB , P BI với việc dựng hình chiếu của B trên (P) dễ dàng 3V +) Tính thông qua thể tích của khối chóp là: h S Chú ý: Nếu tứ diện OABC là tứ diện vuông tại O thì khoảng cách từ O đến (ABC) được tính bởi 1 1 1 1 công thức: d2 O, ABC OA2 OB 2 OC 2 * Định hướng PP giải với câu hỏi tính khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau Giả sử cần tính d a, b với a, b chéo nhau Cách 1: Trực tiếp Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b. Khi đó dab , MN (cách này thường chỉ áp dụng khi a vuông góc với b) PP thường làm là B1: Tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b (hoặc ngược lại) B2: Tìm giao điểm N của P với b B3: Trong mặt phẳng (P), dựng NM vuông góc với a tại M và khẳng định dab , MN Cách 2: Tính gián tiếp Ta có dab ,, daQ với (Q) là mặt phẳng chứa b và song song với a = dM , Q với M thuộc a và dễ dựng hình chiếu trên (Q) hoặc tương tự dựng (P) chứa a và song song với b. Khi đó dab ,,, dbP dBP với B bất kì thuộc b Câu 7: Công thức tính thể tích của khối chóp? Khối lăng trụ? Khối chóp cụt đều? Một số lưu ý về xác định đường cao của hình chóp? Công thức tỉ số thể tích của khối chóp tam giác? * Công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ, khối chóp cụt đều. 8
9. 1 +) Thể tích của khối chóp là: V .. h S với h là chiều cao, S là diện tích đáy 3 +) Thể tích của khối trụ là: V h. S với h là chiều cao, S là diện tích đáy 1 +) Thể tích của khối chóp cụt đều là: V .. h S S ' SS ' với h là chiều cao, S là diện tích đáy 3 lớn, S ' là diện tích đáy nhỏ * Một số lưu ý về xác định đường cao của hình chóp +) Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy thì đường cao là cạnh bên ấy +) Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. +) Hình chóp có hai bên mặt vuông góc với đáy thì đường cao là giao tuyến của 2 mặt bên ấy +) Hình chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao là đường cao của mặt bên ấy * Công thức tỉ số thể tích của hình chóp tam giác Cho hình chóp tam giác S.ABC. Gọi A', B ', C ' lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA,, SB SC (không V SA' SB ' SC ' trùng với S và có thể trùng A, B, C). Khi đó ta có SABC.'' ' .. VS. ABC SA SB SC Nội dung 4: Đạo hàm Câu 1: Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại 1 điểm? Ý nghĩa hình học và ý nghĩa vật lí của đạo hàm? +) Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại 1 điểm fx fx 0 Cho hàm số y fx xác định trên khoảng a; b và x0 a; b . Nếu lim tồn tại và x x 0 x x0 fx fx 0 fx 0 h fx 0 hữu hạn thì f' x0 lim . Ta cũng có f' x0 lim x x h 0 0 x x0 h +) Ý nghĩa hình học của đạo hàm Cho hàm số y fx có đồ thị (C) và có đạo hàm tại x0. Khi đó tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0 có hệ số góc là k f' x0 . Suy ra PTTT của độ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 là yfx ' 0 xx 0 fx 0 +) Ý nghĩa vật lí của đạo hàm Giả sử một vật chuyển động thẳng có phương trình là s st . Khi đó vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t là vt st' Câu 2: Đạo hàm của hàm số thường gặp? Công thức đạo hàm của hàm số hợp? Các quy tắc tính đạo hàm? Đạo hàm của hàm số lượng giác? Đạo hàm của hàm mũ? Đạo hàm của hàm số lôgarit? * Đạo hàm của hàm số thường gặp +) xn '. nx n 1 với mọi x thuộc R. 9
10. 1 +) x ' với mọi x 0 2 x * Công thức đạo hàm của hàm hợp +) Nếu y yux là hàm số hợp của hàm số y y u với u ux thì yx' yuux '.' u ' +) un ' n . u n 1 .'; u u ' với u là hàm số của x 2 u * Các quy tắc tính đạo hàm Với u, v là các hàm số của biến x u u' v uv ' +) uv ' uv ''; uv ' uv '' +) uv ' u ' v uv '; ' 2 v v 1 v ' Suy ra uv w' uv ' 'w'; ku ' ku '; ' 2 v v * Đạo hàm của hàm số lượng giác +) sinx ' cos x với mọi x thuộc R. Suy ra sinu ' u '.cos u với u là hàm số của x +) cosx ' sin x với mọi x thuộc R. Suy ra cosu ' u '.sin u 1 u ' +) tanx ' với mọi x k . Suy ra tanu ' cos2 x 2 cos2 u 1 u ' +) cotx ' với mọi x k ,. k Z Suy ra cotu ' sin2 x sin2 u * Đạo hàm của hàm số mũ +) ex ' e x với mọi x thuộc R. Suy ra eu ' ue '. u với u là hàm số của x +) ax ' a x .ln a với mọi x thuộc R và a 0 . Suy ra au ' u '. a u .ln a * Đạo hàm của hàm số lôgarit 1 u ' +) lnx ' với mọi x > 0. Suy ra lnu ' x u 1 u ' +) logx ' với mọi x > 0 và 0 a 1. Suy ra logu ' a x.ln a a u.ln a Câu 3: Đạo hàm cấp 2? Ý nghĩa vật lí của đạo hàm cấp 2? +) Ta có fx'' fx ' ' +) Giả sử vật chuyển động thẳng có phương trình là s st . Khi đó gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là at st'' 10